f(x)=arcsin(|x-c|/|x-d|)的一阶泰勒展开

根据泰勒公式，f(x)在x=a处的一阶泰勒展开式为：
f(x)≈f(a)+f′(a)(x-a)
因此，我们需要求出f(x)在x=c处的一阶导数f′(x)，然后代入上式即可。
根据链式法则和引用，我们可以得到：
f′(x)=cos(arcsin(|x-c|/|x-d|))⋅(d-c)/|x-d|⋅sgn(x-c)
其中，sgn(x-c)表示x-c的符号函数，即当x>c时为1，当x<c时为-1，当x=c时为0。
将f′(x)代入泰勒展开式中，得到：
f(x)≈f(c)+cos(arcsin(|c-c|/|c-d|))⋅(d-c)/|c-d|⋅sgn(x-c)⋅(x-c)
化简可得：
f(x)≈f(c)+(d-c)⋅sgn(x-c)⋅(x-c)/|c-d|
综上所述，f(x)=arcsin(|x-c|/|x-d|)的一阶泰勒展开式为：
f(x)≈f(c)+(d-c)⋅sgn(x-c)⋅(x-c)/|c-d|

相关问题

f(x)=arcsin(||x-c||/||x-d||)的一阶泰勒展开

根据泰勒公式，f(x)在x=a处的一阶泰勒展开式为：
f(x)≈f(a)+f′(a)(x-a)
对于f(x)=arcsin(||x-c||/||x-d||)，我们需要求出f′(x)。
根据链式法则，有：
f′(x)=d/dx arcsin(||x-c||/||x-d||)=1/√(1-(||x-c||/||x-d||)^2) * d/dx (||x-c||/||x-d||)
根据向量求导法则，有：
d/dx (||x-c||/||x-d||)=(x-c)·(d/du ||u-d||)|u=x / ||x-c|| - (x-d)·(d/du ||u-d||)|u=x / ||x-d||
将f′(x)代入泰勒展开式中，得到：
arcsin(||x-c||/||x-d||)≈arcsin(||a-c||/||a-d||) + 1/√(1-(||a-c||/||a-d||)^2) * [(x-a)·(d/du ||u-d||)|u=a / ||a-c|| - (x-a)·(d/du ||u-d||)|u=a / ||a-d||]
其中，||a-c||和||a-d||是常数，可以用给定的向量a、c、d计算得到。

f(x)=arcsin(||x-a||/||x-b||)的一阶泰勒展开

函数 f(x)=arcsin(||x-a||/||x-b||) 的一阶泰勒展开式为：
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)
其中，f(a) = arcsin(||a-a||/||a-b||) = 0，f'(x)为f(x)的导数，有：
f'(x) = 1/√(1-||x-a||^2/||x-b||^2) * (||x-b||/||x-a||^2)*(x-a)
因此，f'(a) = 1/||a-b||。
将f(a)和f'(a)代入泰勒展开式中，得到：
f(x) ≈ 0 + 1/||a-b||*(x-a)
即：
f(x) ≈ (x-a)/||a-b||