f(x)=arcsin(||x-a||/||x-b||)的一阶泰勒展开

函数 f(x)=arcsin(||x-a||/||x-b||) 的一阶泰勒展开式为：
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)
其中，f(a) = arcsin(||a-a||/||a-b||) = 0，f'(x)为f(x)的导数，有：
f'(x) = 1/√(1-||x-a||^2/||x-b||^2) * (||x-b||/||x-a||^2)*(x-a)
因此，f'(a) = 1/||a-b||。
将f(a)和f'(a)代入泰勒展开式中，得到：
f(x) ≈ 0 + 1/||a-b||*(x-a)
即：
f(x) ≈ (x-a)/||a-b||

相关问题

f(x)=arcsin(||x-a||/||x-b||)在xd处的一阶泰勒展开

根据泰勒公式，函数f(x)在x=d处的一阶泰勒展开式为：
f(x) ≈ f(d) + f'(d)(x-d)
因此，我们需要求出f(x)在x=d处的导数f'(d)。

首先，我们可以将f(x)写成复合函数的形式：
f(x) = arcsin(g(x))
其中，g(x) = ||x-a||/||x-b||。

根据链式法则，f'(x) = g'(x) / sqrt(1-g(x)^2)。
因此，我们需要求出g(x)在x=d处的导数g'(d)。

将g(x)展开，得到：
g(x) = sqrt((x-a)·(x-a)) / sqrt((x-b)·(x-b)))
= sqrt((x-a)·(x-a)) / sqrt((x-b)·(x-b))) * sqrt((x-a)·(x-a)) / sqrt((x-a)·(x-a)))
= sqrt((x-a)·(x-a)) / sqrt((x-b)·(x-b))) * (x-a)

因此，g(x)在x=d处的导数为：
g'(d) = (d-a) / sqrt((d-b)·(d-b))) * sqrt((d-a)·(d-a))) + sqrt((d-a)·(d-a))) / sqrt((d-b)·(d-b))) * 1
= (d-a) / ||d-b|| + ||d-a|| / ||d-b||

将g'(d)代入f'(x)的公式中，得到：
f'(d) = g'(d) / sqrt(1-g(d)^2)
= [(d-a) / ||d-b|| + ||d-a|| / ||d-b||] / sqrt(1-[(d-a) / ||d-b|| + ||d-a|| / ||d-b||]^2)

最终，将f(d)和f'(d)代入泰勒展开式中，即可得到f(x)在x=d处的一阶泰勒展开式。

f(x)=arcsin(||x-c||/||x-d||)的一阶泰勒展开

根据泰勒公式，f(x)在x=a处的一阶泰勒展开式为：
f(x)≈f(a)+f′(a)(x-a)
对于f(x)=arcsin(||x-c||/||x-d||)，我们需要求出f′(x)。
根据链式法则，有：
f′(x)=d/dx arcsin(||x-c||/||x-d||)=1/√(1-(||x-c||/||x-d||)^2) * d/dx (||x-c||/||x-d||)
根据向量求导法则，有：
d/dx (||x-c||/||x-d||)=(x-c)·(d/du ||u-d||)|u=x / ||x-c|| - (x-d)·(d/du ||u-d||)|u=x / ||x-d||
将f′(x)代入泰勒展开式中，得到：
arcsin(||x-c||/||x-d||)≈arcsin(||a-c||/||a-d||) + 1/√(1-(||a-c||/||a-d||)^2) * [(x-a)·(d/du ||u-d||)|u=a / ||a-c|| - (x-a)·(d/du ||u-d||)|u=a / ||a-d||]
其中，||a-c||和||a-d||是常数，可以用给定的向量a、c、d计算得到。