模拟退火算法初始温度的自适应改进方法举例，含公式

一种常见的自适应改进方法是根据模拟退火算法迭代过程中的历史温度和能量值信息来动态地调整初始温度。具体实现方式如下：

1. 设置一个初始温度 $T_0$，然后运行模拟退火算法，记录每次迭代的温度和能量值。

2. 对于前 $k$ 次迭代，统计温度 $T_i$ 下能量值小于 $E_i$ 的比例 $p_i$，可以通过下式计算得到：

$$ p_i = \frac{1}{N} \sum\limits_{j=1}^N [E_j(T_i) \leq E_i] $$

其中，$N$ 表示样本数量，$E_j(T_i)$ 表示在温度 $T_i$ 下第 $j$ 个样本的能量值，$[E_j(T_i) \leq E_i]$ 表示当 $E_j(T_i) \leq E_i$ 时取值为 $1$，否则取值为 $0$。

3. 对于每个温度 $T_i$，计算其对应的能量值的均值 $\mu_i$ 和标准差 $\sigma_i$，可以通过下式计算得到：

$$ \mu_i = \frac{1}{N} \sum\limits_{j=1}^N E_j(T_i) $$

$$ \sigma_i = \sqrt{\frac{1}{N} \sum\limits_{j=1}^N (E_j(T_i) - \mu_i)^2} $$

4. 根据历史温度和能量值信息，计算出一个可信的初始温度 $T_{init}$，可以通过下式计算得到：

$$ T_{init} = \frac{\sum\limits_{i=1}^k p_i \cdot T_i}{\sum\limits_{i=1}^k p_i} + \alpha \cdot \frac{\sum\limits_{i=1}^k \sigma_i}{k} $$

其中，$T_i$ 和 $p_i$ 表示第 $i$ 次迭代的温度和能量值满足 $E_j(T_i) \leq E_i$ 的比例，$\sigma_i$ 表示第 $i$ 次迭代的能量值的标准差，$k$ 表示用于计算的历史迭代次数，$\alpha$ 是一个可调参数，用于控制初始温度的大小。

5. 将 $T_{init}$ 作为模拟退火算法的初始温度，继续运行算法进行优化。

通过这种自适应改进方法，可以根据历史信息来动态地调整初始温度，从而提高模拟退火算法的搜索效率和结果。