模拟退火算法初始温度的自适应改进方法举例，含公式和python代码

下面给出一种基于 Python 的模拟退火算法初始温度自适应改进方法的实现，包含相关公式的代码实现。

假设我们要优化一个目标函数 $f(x)$，其中 $x$ 是一个向量。初始温度为 $T_0$，每个温度下进行 $N$ 次迭代，迭代次数为 $M$。代码实现如下：

import numpy as np

def objective_function(x):
    # 定义目标函数
    return np.sum(x ** 2)

def acceptance_probability(delta, temperature):
    # 计算接受概率
    return np.exp(-delta / temperature)

def simulated_annealing(x0, T0, N, M, alpha):
    # 模拟退火算法
    x = x0.copy()
    T = T0
    for i in range(N):
        for j in range(M):
            # 生成新解
            x_new = x + np.random.normal(0, 1, x.shape)
            # 计算新解的目标函数值
            delta = objective_function(x_new) - objective_function(x)
            # 判断是否接受新解
            if delta < 0 or np.random.rand() < acceptance_probability(delta, T):
                x = x_new
        # 计算该温度下的能量值均值和标准差
        energy = np.zeros(M)
        for j in range(M):
            energy[j] = objective_function(x + np.random.normal(0, 1, x.shape))
        mu = np.mean(energy)
        sigma = np.std(energy)
        # 计算该温度下能量值小于均值的比例
        p = np.sum(energy <= mu) / M
        # 根据历史信息计算可信的初始温度
        T = p * T + alpha * sigma
    return x

在上面的代码中，`objective_function` 函数定义了要优化的目标函数，`acceptance_probability` 函数计算了接受新解的概率，`simulated_annealing` 函数实现了模拟退火算法的迭代过程。其中，`x0` 是初始解向量，`T0` 是初始温度，`N` 和 `M` 分别是温度下的迭代次数和总迭代次数，`alpha` 是控制初始温度大小的可调参数。

这个实现方法基于温度下能量值的均值和标准差，来计算可信的初始温度。具体来说，对每个温度，先进行 $M$ 次迭代，记录下每次迭代的能量值，然后计算该温度下的能量值均值和标准差，以及能量值小于均值的比例。根据历史信息计算可信的初始温度，然后继续进行模拟退火算法的迭代。通过这种方法，可以动态地调整初始温度，以达到最优的搜索效果。