7-3 纸币兑换 分数 10 作者 w 单位 广州新华学院 假如某国流通的纸币面值为1，2，5元，那么n元可以有多少种兑换方法？ 输入格式: 一个整数，需要兑换的n元数值 输出格式: n元兑换的方法数.例如2元有两种兑换：2个1元和1个2元。

这是一个经典的动态规划问题，可以使用类似背包问题的思路来解决。具体地，设 $dp[i]$ 表示兑换 $i$ 元的方法数，则有以下状态转移方程：

$$
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-5]
$$

其中 $dp[i-1]$ 表示如果兑换 $i$ 元时最后一张纸币为 $1$ 元，则前面需要兑换 $i-1$ 元；$dp[i-2]$ 表示如果最后一张纸币为 $2$ 元，则前面需要兑换 $i-2$ 元；$dp[i-5]$ 表示如果最后一张纸币为 $5$ 元，则前面需要兑换 $i-5$ 元。

边界条件为 $dp[0]=1$，因为兑换 $0$ 元只有一种方法，即不用兑换。

最终，$dp[n]$ 就是兑换 $n$ 元的方法数。下面是 Python 代码实现：

n = int(input())
dp = [0] * (n + 1)
dp[0] = 1
for i in range(1, n+1):
    if i >= 1:
        dp[i] += dp[i-1]
    if i >= 2:
        dp[i] += dp[i-2]
    if i >= 5:
        dp[i] += dp[i-5]
print(dp[n])

例如输入 $n=2$，输出为 $2$，符合题意。

相关问题

假设某种货币有1元、2元和5元面额，编写程序，输入一个数额N（N大于等于8且小于100），找出N元数额货币兑换成1元、2元和5元纸币的所有可能组合，要求组合中1元、2元和5元都必须同时存在。输出针对每一个N的所有可能组合以及组合的总数。

您好，我可以回答这个问题。以下是程序的实现：

#include <stdio.h>

int main() {
int N, count = 0;
printf("请输入一个数额N（N大于等于8且小于100）：");
scanf("%d", &N);
printf("%d元数额货币兑换成1元、2元和5元纸币的所有可能组合如下：\n", N);
for (int i = 1; i <= N - 5; i++) {
for (int j = 1; j <= N - i - 2; j++) {
int k = N - i - j;
if (k >= 5) {
printf("%d元 = %d张1元 + %d张2元 + %d张5元\n", N, i, j, k);
count++;
}
}
}
printf("共有%d种组合。\n", count);
return 0;
}

希望能够帮到您！

如果将一张20元的纸币兑换成1元、5元、10元面值的零钱，共有哪些兑换方法？使用for循环探索该问题的答案。

如果你要用20元的纸币兑换成1元、5元、10元的零钱，这个问题实际上是一个组合数学问题，可以转化为求解有多少种不同的方式使得总金额等于20元。由于每个面额都可以有0到无限次的出现，理论上讲兑换方案非常多。

使用for循环来解决这个问题的一个简单方法是遍历每种可能的1元、5元和10元的数量，并检查它们的总和是否恰好为20元。我们可以创建三个变量分别代表这三个面额的张数，然后用嵌套循环来尝试所有可能的组合。然而，因为涉及到大量的计算，手动编写这样的for循环会非常复杂，通常我们会使用编程语言中的动态规划或回溯算法来解决这类问题。

下面是一个简化版的Python代码示例，展示如何使用简单的for循环来列举所有可能的组合，但这不是最高效的方式：

# 初始化面额和张数数组
coins = [1, 5, 10]
possible_combinations = []

# 遍历每个面额的最大次数
for i in range(20 // coins[0] + 1):  # 1元最多20张
    for j in range((20 - (i * coins[0])) // coins[1] + 1):  # 5元最多(20-i) / 5 张
        k = 20 - i * coins[0] - j * coins[1]
        if k >= 0 and k % coins[2] == 0:  # 检查剩余的钱能用10元凑齐
            num_10s = k // coins[2]
            possible_combinations.append((i, j, num_10s))

# 输出所有的组合
for combination in possible_combinations:
    print(f"1元{combination[0]}张, 5元{combination[1]}张, 10元{combination[2]}张")