用一张百元纸币兑换一元、二元和五元的纸币,要求兑换后纸币的总数为50 张,问共有多少种换法? 每种换法中各面值的纸币分别为多少张?

### 回答1：
这是一个组合问题，可以使用数学上的排列组合方法进行计算，假设百元纸币兑换后得到x张1元，y张2元和z张5元纸币，则有以下等式成立：

x + y + z = 50 （总纸币数为50张）
x + 2y + 5z = 100 （总价值为100元）

将第一个等式变形得到：x = 50 - y - z，带回第二个等式中得到：
50 - y - z + 2y + 5z = 100，化简得：y = (2/3)z + 25

因为纸币是整数，所以z必须是3的倍数，且不超过16(5元纸币最多16张)，枚举得到z的可能值为：3，6，9，12，15。对于每个z的值，可以通过上述等式得到对应的y和x值，具体如下：

当 z = 3 时，有 y = 27，x = 20，可以得到1元纸币20张，2元纸币27张，5元纸币3张
当 z = 6 时，有 y = 32，x = 12，可以得到1元纸币12张，2元纸币32张，5元纸币6张
当 z = 9 时，有 y = 37，x = 4，可以得到1元纸币4张，2元纸币37张，5元纸币9张
当 z = 12 时，有 y = 42，x = -4，但是x为负数不符合实际，所以不存在这种情况
当 z = 15 时，有 y = 47，x = -16，但是x为负数不符合实际，所以不存在这种情况

因此，共有3种换法：

1. 1元纸币20张，2元纸币27张，5元纸币3张
2. 1元纸币12张，2元纸币32张，5元纸币6张
3. 1元纸币4张，2元纸币37张，5元纸币9张

### 回答2：
假设用x张一元纸币, y张二元纸币和z张五元纸币来兑换。

根据题意，我们可以列出方程组：

x + 2y + 5z = 100 （总金额为100元）
x + y + z = 50 （总张数为50张）

通过简单的计算，可以得到x = 50 - y - z。

将x的表达式代入第一个方程中，得到：

50 - y - z + 2y + 5z = 100

整理化简得到：

3y + 4z = 50

根据这个方程，我们可以计算出y的取值范围为1到16（因为在纸币兑换中，y和z的取值范围是整数且小于等于50）。

在y取值为1到16的情况下，计算z的取值。根据方程3y + 4z = 50，当y = 1时，z = 16；当y = 2时，z = 14；当y = 3时，z = 12；以此类推，当y = 16时，z = 2。

因此，共有16种不同的换法，每种换法中各面值的纸币分别为：

1. 一元纸币49张，二元纸币1张，五元纸币0张
2. 一元纸币47张，二元纸币2张，五元纸币1张
3. 一元纸币45张，二元纸币3张，五元纸币2张
4. 一元纸币43张，二元纸币4张，五元纸币3张
5. ...
6. 一元纸币33张，二元纸币17张，五元纸币16张
7. 一元纸币31张，二元纸币18张，五元纸币17张
8. ...
9. 一元纸币1张，二元纸币49张，五元纸币48张
10. 一元纸币0张，二元纸币50张，五元纸币50张

总结：共有16种换法，每种换法中各面值纸币的张数可依次为49/1/0，47/2/1，45/3/2...1/49/48，0/50/50。

### 回答3：
假设用x张一元纸币，y张二元纸币，z张五元纸币兑换百元纸币。

根据题意，我们有以下等式：
x + y + z = 50
x + 2y + 5z = 100

我们可以将第一个等式乘以2，然后与第二个等式相减，消去x，得到：
y + 3z = 50

由于x、y、z都为非负整数，我们可以进行穷举法求出所有可能的解。根据等式y + 3z = 50，可以列出以下几组解：
(1, 49), (4, 48), (7, 47), (10, 46), (13, 45), (16, 44), (19, 43), (22, 42), (25, 41), (28, 40), (31, 39), (34, 38), (37, 37)

共有13种换法。
其中每种换法中各面值的纸币分别为：
(1元：1张, 2元：49张, 5元：0张)
(1元：4张, 2元：48张, 5元：0张)
(1元：7张, 2元：47张, 5元：0张)
(1元：10张, 2元：46张, 5元：0张)
(1元：13张, 2元：45张, 5元：0张)
(1元：16张, 2元：44张, 5元：0张)
(1元：19张, 2元：43张, 5元：0张)
(1元：22张, 2元：42张, 5元：0张)
(1元：25张, 2元：41张, 5元：0张)
(1元：28张, 2元：40张, 5元：0张)
(1元：31张, 2元：39张, 5元：0张)
(1元：34张, 2元：38张, 5元：0张)
(1元：37张, 2元：37张, 5元：0张)