已知（7，3）分组码的生成矩阵为 （1）写出该循环码的典型生成矩阵；典型监督矩阵，并写出监督关系式（6分） （2）该码的编码效率为多少？（2分） （3）设需接收端收到一个码组是1011001，请问这个码组是正确的吗？为什么？（2分）

(1) 典型生成矩阵为：

G = [1 0 0 1 1 0 1;
     0 1 0 1 1 1 0;
     0 0 1 0 1 1 1]

典型监督矩阵为：

H = [G(:,4:7) eye(3)]

监督关系式为：`cH^T = 0`，其中`c`为码字，`H^T`为`H`的转置。

(2) 该码的编码效率为`k/n=3/7`，其中`k`为信息比特数，`n`为码字总比特数。

(3) 首先计算接收到的码组的校验矩阵：

r = [1 0 1 1 0 0 1]
syndrome = mod(r*H', 2)

得到校验矩阵`syndrome = [1 0 1]`。由于`syndrome`不为全0，说明接收到的码组存在错误。通过检查校验矩阵，可以发现第1和第3列出现了错误，因此接收到的码组是错误的。

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已知分组码生成矩阵和接收信号，怎么求原始信号

要求解原始信号，你需要使用分组码生成矩阵的逆矩阵。假设原始信号为向量x，接收信号为向量y，分组码生成矩阵为矩阵G。可以使用以下公式来计算原始信号：

x = G^(-1) * y

其中，^(-1)表示逆矩阵运算。通过将接收信号与分组码生成矩阵的逆矩阵相乘，可以得到原始信号向量x。请注意，分组码生成矩阵必须是可逆的，即逆矩阵存在。

6. (计算题, 10分) 已知（7，3）分组码的生成矩阵为 （1）写出该循环码的典型生成矩阵；典型监督矩阵，并写出监督关系式（6分） （2）该码的编码效率为多少？（2分） （3）设需接收端收到一个码组是1011001，请问这个码组是正确的吗？为什么？（2分）

（1）根据（7，3）分组码的生成矩阵，可以写出其典型生成矩阵为：

G = [1 0 0 1 1 0 1;
     0 1 0 1 0 1 1;
     0 0 1 0 1 1 1];

根据循环码的定义，可以得到其监督矩阵为：

H = [transpose([0 1 1 1 0 0 1]);
     transpose([1 1 1 0 1 0 0]);
     transpose([1 1 0 0 0 1 0]);
     transpose(G)];

其中，监督矩阵的前3行对应的是循环码的循环移位寄存器，后4行对应的是典型生成矩阵。

监督关系式为：

S = mod(H * transpose([1 0 1 1 0 0 1]), 2);

其中，[1 0 1 1 0 0 1]为待编码的比特串。

（2）该码的编码效率为：

R = k / n = 3 / 7 ≈ 0.4286

（3）该码组是否正确取决于其是否符合监督关系式。将码组[1 0 1 1 0 0 1]代入监督关系式中计算，得到：

S = mod(H * transpose([1 0 1 1 0 0 1]), 2) = [0 0 0 0]'

由于得到的结果全为0，说明码组是正确的。如果结果不全为0，则说明码组存在错误，需要进行纠错。