(计算题, 10分) 已知（7，3）分组码的生成矩阵为 1011100（1）写出该循环码的典型生成矩阵；典型监督矩阵，并写出监督关系式（6分） （2）该码的编码效率为多少？（2分） （3）设需接收端收到一个码组是1011001，请问这个码组是正确的吗？为什么？（2分）

（1）根据（7，3）分组码的生成矩阵，可以写出其典型生成矩阵为：

G = [1 0 1 1 1 0 0;
     0 1 1 1 0 1 0;
     0 0 0 0 1 1 1];

根据循环码的定义，可以得到其监督矩阵为：

H = [transpose([1 1 0 1 1 0 0]);
     transpose([1 1 1 0 1 1 0]);
     transpose([1 1 1 1 0 0 1]);
     transpose(G)];

其中，监督矩阵的前3行对应的是循环码的循环移位寄存器，后4行对应的是典型生成矩阵。

监督关系式为：

S = mod(H * transpose([1 0 1 1 0 0 1]), 2);

其中，[1 0 1 1 0 0 1]为待编码的比特串。

（2）该码的编码效率为：

R = k / n = 3 / 7 ≈ 0.4286

（3）该码组是否正确取决于其是否符合监督关系式。将码组[1 0 1 1 0 0 1]代入监督关系式中计算，得到：

S = mod(H * transpose([1 0 1 1 0 0 1]), 2) = [0 0 0 0]'

由于得到的结果全为0，说明码组是正确的。如果结果不全为0，则说明码组存在错误，需要进行纠错。

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6. (计算题, 10分) 已知（7，3）分组码的生成矩阵为 （1）写出该循环码的典型生成矩阵；典型监督矩阵，并写出监督关系式（6分） （2）该码的编码效率为多少？（2分） （3）设需接收端收到一个码组是1011001，请问这个码组是正确的吗？为什么？（2分）

（1）根据（7，3）分组码的生成矩阵，可以写出其典型生成矩阵为：

G = [1 0 0 1 1 0 1;
     0 1 0 1 0 1 1;
     0 0 1 0 1 1 1];

根据循环码的定义，可以得到其监督矩阵为：

H = [transpose([0 1 1 1 0 0 1]);
     transpose([1 1 1 0 1 0 0]);
     transpose([1 1 0 0 0 1 0]);
     transpose(G)];

其中，监督矩阵的前3行对应的是循环码的循环移位寄存器，后4行对应的是典型生成矩阵。

监督关系式为：

S = mod(H * transpose([1 0 1 1 0 0 1]), 2);

其中，[1 0 1 1 0 0 1]为待编码的比特串。

（2）该码的编码效率为：

R = k / n = 3 / 7 ≈ 0.4286

（3）该码组是否正确取决于其是否符合监督关系式。将码组[1 0 1 1 0 0 1]代入监督关系式中计算，得到：

S = mod(H * transpose([1 0 1 1 0 0 1]), 2) = [0 0 0 0]'

由于得到的结果全为0，说明码组是正确的。如果结果不全为0，则说明码组存在错误，需要进行纠错。

已知（7，3）分组码的生成矩阵为1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 (1)写出所有许用码组

根据循环码的定义，所有许用码组即为该循环码的所有码字，可通过对生成矩阵进行线性变换得到。

对于该生成矩阵 G，通过对单位矩阵 I3 进行扩展，得到扩展矩阵 [I3 | G]：

1 0 0 1 1 1 0 0
0 1 0 0 1 1 1 0
0 0 1 1 0 1 1 1

对扩展矩阵进行初等行变换，化为阶梯型矩阵：

1 0 0 1 1 1 0 0
0 1 0 0 1 1 1 0
0 0 1 1 0 1 1 1

因此，该循环码的所有许用码组为：

0000000
0100111
1011011
1111100
0111001
1000101
1100010
0011110