7的负一次方mod 19 等于11 是怎么计算的

首先，$7$ 在模 $19$ 意义下的逆元是一个数 $x$，满足 $7x \equiv 1 \pmod{19}$。也就是说，$7$ 的逆元是能够让 $7$ 乘以它得到 $1$ 的数。可以使用扩展欧几里得算法求解 $7$ 在模 $19$ 意义下的逆元。

计算过程如下：

1. 首先，使用扩展欧几里得算法，求出 $7$ 和 $19$ 的最大公约数和对应的贝祖等式：$1 = 3 \times 7 - 2 \times 19$。
2. 将两边同时除以 $7$，得到：$7^{-1} \equiv 3 \pmod{19}$。

因此，$7$ 在模 $19$ 意义下的逆元是 $3$。现在，需要计算 $7^{-1} \pmod{19}$，即 $3 \pmod{19}$ 的负一次方。

根据模运算的性质，有 $(a \bmod n)^{-1} \equiv a^{-1} \bmod n$。因此，$(3 \bmod 19)^{-1} \equiv 3^{-1} \bmod 19$。

现在，需要计算 $3^{-1} \pmod{19}$ 的值。根据费马小定理，$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$，其中 $p$ 是一个质数，$a$ 是不被 $p$ 整除的整数。因为 $19$ 是质数，而且 $3$ 不被 $19$ 整除，所以有 $3^{18} \equiv 1 \pmod{19}$。因此，$3^{-1} \equiv 3^{17} \pmod{19}$。

可以使用快速幂算法计算 $3^{17} \pmod{19}$ 的值，具体计算过程如下：

$3^1 \equiv 3 \pmod{19}$

$3^2 \equiv 9 \pmod{19}$

$3^4 \equiv 9^2 \equiv 81 \equiv 5 \pmod{19}$

$3^8 \equiv 5^2 \equiv 25 \equiv 6 \pmod{19}$

$3^{16} \equiv 6^2 \equiv 36 \equiv 17 \pmod{19}$

$3^{17} \equiv 3 \cdot 3^{16} \equiv 3 \cdot 17 \equiv 16 \pmod{19}$

因此，$7^{-1} \pmod{19} = 3 \pmod{19}$ 的负一次方是 $16$。即，$7^{-1} \pmod{19} = 16$。因此，$7^{-1}$ 乘以 $11$ 在模 $19$ 意义下的值为 $7^{-1} \cdot 11 \equiv 16 \cdot 11 \equiv 12 \pmod{19}$。