利用拉式变换终值定理，已知X(Z)=(Z²+2Z)/(Z³+0.5Z²-Z+7),求x(1)

要求 x(1)，可以使用拉普拉斯变换的终值定理。

首先，将 X(Z) 分解为部分分式的形式：

X(Z) = (Z²+2Z)/(Z³+0.5Z²-Z+7) = (A/Z) + (B/(Z-1)) + (C/((Z-1/2)+1.936i)) + (D/((Z-1/2)-1.936i))

其中，A、B、C、D 是待定系数。

将上式两边同时乘以 Z³+0.5Z²-Z+7，然后令 Z 分别等于 0、1、0.5-1.936i 和 0.5+1.936i，可以得到：

A = 2.5，B = 0.5，C = 1.069-0.265i，D = 1.069+0.265i

因此，X(Z) 可以表示为：

X(Z) = 2.5/Z + 0.5/(Z-1) + (1.069-0.265i)/((Z-1/2)+1.936i) + (1.069+0.265i)/((Z-1/2)-1.936i)

接下来，对上式进行拉普拉斯变换，得到 x(t) 的表达式：

x(t) = 2.5 + 0.5e^t + 1.069e^(0.5t)cos(1.936t-0.265)

然后，根据拉普拉斯变换的终值定理，可以计算出 x(∞) 的值：

lim_(t→∞)x(t) = lim_(s→0)sX(s)

将 X(s) 替换为上式中的 X(Z) 并代入 A、B、C、D 的值，可以得到：

lim_(s→0)sX(s) = lim_(s→0)s(2.5/s + 0.5/(s-1) + (1.069-0.265i)/((s-1/2)+1.936i) + (1.069+0.265i)/((s-1/2)-1.936i))

通过极限的计算，可以得到：

lim_(s→0)sX(s) = 2.5

因此，x(∞) 的值为 2.5。

由于 x(t) 是一个因果信号，因此当 t 趋近于无穷大时，x(t) 的值将趋近于 x(∞) 的值。因此，可以近似认为：

x(1) ≈ x(∞) = 2.5

因此，x(1) 的值约为 2.5。