bezier曲线生成opengl

### 使用 OpenGL 实现 Bezier 曲线绘制

为了在 OpenGL 中实现 Bezier 曲线的绘制，需遵循特定的过程。Bezier 曲线是由一系列控制点定义的平滑曲线，在计算机图形学中广泛应用。

#### 准备工作
首先，初始化 OpenGL 环境并设置好窗口属性。这一步骤不涉及具体算法细节而是确保绘图环境准备妥当[^1]。

#### 获取用户输入
通过捕捉鼠标的点击事件获取用于构建 Bezier 曲线的控制点坐标。每当检测到一次鼠标左键按下动作，则记录该时刻光标所在的位置作为新的控制点之一。

#### 绘制辅助结构
为了让开发者更直观理解最终形成的 Bezier 曲线形态，可以在实际渲染之前先用不同颜色（比如绿色）简单连接各个控制点形成折线串，起到引导作用。当然这部分并非必要，可以根据需求决定是否保留[^2]：

// 绘制参考线
glColor3f(0.0f, 1.0f, 0.0f); // 设置线条颜色为绿色
glLineWidth(2.0);
glBegin(GL_LINE_STRIP);
for (int i = 0; i < savedPointCount; ++i)
    glVertex2f(savedPoints[i].x, savedPoints[i].y);
glEnd();

#### 计算与绘制 Bezier 曲线
核心部分在于根据给定的控制点集计算出构成 Bezier 曲线上各采样点的具体位置，并依次相连得到完整的曲线效果。对于 n 阶 Bezier 曲线而言，其对应的多项式表达式如下所示[^3]:

\[ P(t)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(1-t)^{n-k}t^kp_k \]

其中 \( t∈[0,1]\)，\( p_0,p_1,...p_n\) 表示顺序排列的控制点向量序列。基于上述公式编写相应的函数完成插值运算后调用 `glVertex*()` 输出每一个中间节点直至整个路径闭合为止[^4]。

void drawBezierCurve(const std::vector<Point>& control_points){
    int num_segments = 50;
    float dt = 1.0 / static_cast<float>(num_segments);

    glColor3f(1.0f, 0.0f, 0.0f); // Red color for bezier curve
    
    glBegin(GL_LINE_STRIP);
        for(int segmentIndex = 0 ;segmentIndex <= num_segments;++segmentIndex){
            double t = segmentIndex * dt;
            Point pointOnCurve = calculateBezier(control_points,t);
            glVertex2d(pointOnCurve.x ,pointOnCurve.y );
        }
    glEnd();
}

在此基础上还可以进一步优化性能或是增加交互功能使程序更加完善实用。