5在mod11下的逆元
时间: 2024-05-20 12:10:43 浏览: 15
要求一个数a在模11下的逆元,即找到一个数x,使得ax ≡ 1 (mod 11)。
我们可以使用扩展欧几里得算法来计算模数为11的逆元。具体步骤如下:
1. 找到一对整数a和b,使得它们的最大公约数为1,即gcd(a,b)=1。
2. 使用扩展欧几里得算法计算a和b的最大公约数gcd(a,b),同时找到一对整数x和y,使得ax+by=gcd(a,b)。因为gcd(a,b)=1,所以ax+by=1。
3. 如果b是模数,即b=11,那么x就是a在模11下的逆元。
现在我们来实现这个算法:
首先,我们需要找到a和11的最大公约数:
gcd(5, 11) = 1
接下来,我们使用扩展欧几里得算法来计算ax+by=1中的x和y:
11 = 2 × 5 + 1
1 = 11 − 2 × 5
因此,我们得到:
1 = 11 − 2 × 5
这意味着5的逆元在模11下为-2,或者说9。因此,5在模11下的逆元为9。
相关问题
5关于mod11的逆元
mod 11的逆元是指在模11下,一个数a存在一个数b,使得a*b ≡ 1 (mod 11)。
可以利用扩展欧几里得算法求解mod 11下的逆元。
举例来说,求8在模11下的逆元,即求一个数b,使得8*b ≡ 1 (mod 11)。
首先,我们可以列出扩展欧几里得算法的递推式:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b),同时记录每一步的系数x和y,使得gcd(a,b) = ax + by。因此,我们需要求出gcd(8,11)并且记录每一步的系数x和y。
通过递推,我们可以得到:
gcd(8,11) = gcd(11,8) = gcd(8,3) = gcd(3,2) = gcd(2,1)
同时,我们可以记录每一步的系数x和y:
gcd(8,11) = 3*(-3) + 2*4
gcd(11,8) = 2*(-2) + 3*3
gcd(8,3) = 1*1 + (-2)*3
gcd(3,2) = (-1)*2 + 1*3
将最后一行的式子改写为8*b ≡ 1 (mod 11)的形式,即可得到8在模11下的逆元b,即b=5。
因此,8在模11下的逆元为5。
4关于mod11的逆元
在模11意义下,一个数a的逆元是指另一个数b,使得a*b ≡ 1 (mod 11)。换句话说,b是a在模11意义下的倒数。
我们可以使用扩展欧几里得算法来计算模11意义下一个数的逆元。具体来说,假设我们要计算数a的逆元,我们需要找到一对整数x和y,使得ax + 11y = 1。这样,根据同余的性质,我们可以得到ax ≡ 1 (mod 11),即a的逆元为x。
下面是一个求逆元的Python代码示例:
```python
def mod_inverse(a, m):
# 利用扩展欧几里得算法求逆元
x, y, d = extended_gcd(a, m)
if d != 1:
# a和m不互质,不存在逆元
return None
else:
# 返回a在模m意义下的逆元
return x % m
def extended_gcd(a, b):
if b == 0:
return 1, 0, a
else:
x, y, d = extended_gcd(b, a % b)
return y, x - (a // b) * y, d
```
在上面的代码中,我们利用了一个名为extended_gcd的函数来计算两个数的最大公约数以及对应的x和y。然后,我们使用mod_inverse函数来计算模11意义下一个数的逆元。如果该数和11不互质,则不存在逆元,函数将返回None。否则,函数将返回该数在模11意义下的逆元。
例如,我们可以使用以下代码来计算3在模11意义下的逆元:
```python
print(mod_inverse(3, 11)) # 输出为 4
```
因为3和11互质,所以3在模11意义下的逆元为4。
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