二分法（折半法）求方程的根。完整程序

二分法是一种在实数范围内查找特定数值（比如方程的根）的搜索算法。它通过不断将搜索区间缩小一半的方式逼近目标值。对于求解方程的根，我们通常假设函数在一个连续区间内是单调的，这样可以确保每次迭代都能确定下一步的搜索范围。

以下是一个简单的Python示例，用于求解一元二次方程的实数根：

def bisection_method(f, a, b, epsilon=1e-6):
    # 函数f的输入是x，返回值是f(x)
    if f(a) * f(b) >= 0:
        print("函数在[a, b]上没有变号点，无法找到根.")
        return None
    
    c = (a + b) / 2
    while abs(b - a) > epsilon:
        if f(c) == 0:
            break
        elif f(a) * f(c) < 0:
            b = c
        else:
            a = c
        c = (a + b) / 2
    
    return c

# 示例函数：y = x^2 - 4
def quadratic_function(x):
    return x**2 - 4

root = bisection_method(quadratic_function, -10, 10)
print(f"方程的根大约是 {root}")

相关问题

用二分法求方程的根的程序

二分法（Bisection Method）又称作折半法，是一种数值计算方法，用于查找函数的根。其基本思想是将函数在指定区间内取中点，判断该中点是否为函数的根，如果不是，则根据函数在中点左右两侧的取值情况，缩小函数的查找范围，直到找到函数的根或者满足精度要求为止。

以下是用二分法求方程的根的 Python 代码示例：

def bisection_method(f, a, b, epsilon):
    """
    用二分法求解方程 f(x) = 0 的根
    :param f: 目标方程
    :param a: 查找区间的左端点
    :param b: 查找区间的右端点
    :param epsilon: 精度要求
    :return: 方程的根
    """
    # 判断查找区间是否合法
    if f(a) * f(b) >= 0:
        return None

    # 初始化区间长度和中点
    length = b - a
    mid = (a + b) / 2

    # 循环查找根
    while length > epsilon:
        # 如果中点为根，则直接返回
        if f(mid) == 0:
            return mid

        # 根据函数在中点左右两侧的取值情况，缩小查找区间
        if f(a) * f(mid) < 0:
            b = mid
        else:
            a = mid

        # 更新区间长度和中点
        length = b - a
        mid = (a + b) / 2

    # 返回最终的根
    return mid

该函数接受以下参数：

- f：目标方程，必须是一个可调用对象，接受一个实数参数并返回一个实数值。
- a：查找区间的左端点，必须是一个实数。
- b：查找区间的右端点，必须是一个实数。
- epsilon：精度要求，必须是一个正实数。

该函数返回方程的根，如果查找失败，则返回 None。

例如，要求解方程 x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0 在区间 [0, 2] 内的根，精度要求为 0.0001，可以使用以下代码：

def f(x):
    return x ** 3 - 3 * x ** 2 + 3 * x - 1

root = bisection_method(f, 0, 2, 0.0001)
print(root)

该代码的输出结果为 0.99993896484375，即方程的一个近似根。

二分法求方程的根

二分法（又称折半法）是一种简单而又实用的数值计算方法，用于求解函数零点或方程的根。其基本思想是：对于一个单峰（即只有一个根）的连续函数，在区间 [a, b] 上取一个中点 c，判断 f(c) 与零的关系，如果 f(c) 为零或者符号与 f(a) 相同，则方程的根在 [a, c] 区间内，否则根在 [c, b] 区间内。然后再对新的区间进行二分，重复以上步骤，直到满足精度要求为止。

以下是一个使用二分法求解方程根的示例代码：

def bisection(f, a, b, eps):
    """
    使用二分法求解方程 f(x) = 0 的根
    :param f: 函数 f(x)
    :param a: 区间左端点
    :param b: 区间右端点
    :param eps: 精度要求
    """
    if f(a) * f(b) > 0:
        print("Error: f(a) 和 f(b) 的符号相同，无法使用二分法求解！")
        return None
    while abs(b - a) > eps:
        c = (a + b) / 2
        if f(c) == 0:
            return c
        elif f(a) * f(c) < 0:
            b = c
        else:
            a = c
    return (a + b) / 2

其中，f 是待求解的方程，a 和 b 是区间的左右端点，eps 是精度要求。在函数中，首先判断区间两端点的函数值符号是否相同，如果相同则无法使用二分法求解，直接返回 None。然后，通过一个 while 循环不断缩小区间，直到满足精度要求为止。

最后，返回区间中点作为方程的近似根。