python任何一个大于 1 的正整数都能被分解为若干个质数相乘, 比如 28 = 2 × 2 × 7 28=2×2×7 被分解为了三个质数相乘。请问在区间 [2333333, 23333333] 中有多少个正整数 可以被分解为 12 个质数相乘?

首先，我们需要预处理出区间内的所有质数。可以使用筛法，时间复杂度为 $O(n \log \log n)$。

接着，考虑如何统计符合条件的数的个数。将 12 个质数相乘可以看做是将这些质数分配到 12 个位置上，每个位置可以有 0 个、1 个或多个质数。因为我们已经预处理出了区间内的质数，所以可以使用回溯法枚举所有的分配情况。

具体来说，可以定义一个递归函数，参数为当前枚举到的位置和还需要分配的质数个数。在递归函数内部，我们可以使用一个循环枚举当前位置分配多少个质数，然后递归到下一个位置。当所有位置都分配完毕时，如果刚好分配完 12 个质数，就说明当前的分配方案符合条件，计数器加 1。时间复杂度为 $O(2^{12})$，因为每个位置可以有 0 个或 1 个质数，一共有 12 个位置。

最终的时间复杂度为 $O(n \log \log n + 2^{12})$。实际上，由于区间比较小，可以直接暴力枚举所有数，然后对每个数进行分解质因数，判断是否刚好分解为 12 个质数相乘。这样虽然时间复杂度比较高，但是实际运行速度也很快。

相关问题

任何一个大于 1 的正整数都能被分解为若干个质数相乘，比如 28 = 2×2×7\n被分解为了三个质数相乘。请问在区间 [2333333, 23333333] 中有多少个正整数\n可以被分解为 12 个质数相乘？

首先我们需要知道的是，任何一个大于 1 的正整数都可以被分解为若干个质数相乘的形式，这个结论称为质因数分解定理。因此，我们可以考虑枚举这 12 个质数，然后判断它们的乘积是否在给定的区间内。

具体地，我们可以先用筛法求出 [1, 23333333] 中的所有质数。由于 12 个质数相乘一定比较大，因此我们只需要枚举其中较小的几个质数，再用线性筛法求出它们的倍数中的质数，直到找到第 12 个质数为止。具体来说，假设当前枚举到的是第 i 个质数 p，我们可以用以下代码找到第 i+1 个质数 q：

q = p + 1
while True:
    if is_prime(q):
        i += 1
        if i == 12:  # 已经找到了 12 个质数
            break
        p = q
    q += 1

其中，`is_prime(x)` 表示判断 x 是否为质数的函数，可以用线性筛法来实现。在找到了 12 个质数之后，我们就可以对它们的乘积进行判断，看看是否在给定的区间内。

具体来说，我们可以从 2 开始枚举每个正整数 x，并统计能够被分解为 12 个质数相乘的个数：

count = 0
for x in range(2, 23333334):
    factors = get_prime_factors(x)  # 获取 x 的质因数分解结果
    if len(factors) == 12:
        product = 1
        for factor in factors:
            product *= factor
        if 2333333 <= product <= 23333333:
            count += 1
print(count)

其中，`get_prime_factors(x)` 表示获取 x 的质因数分解结果的函数，可以用试除法来实现。

总时间复杂度为 $O(n\log n)$，其中 n 是给定区间的长度。实际上，由于我们只需要枚举 12 个质数，因此程序的运行速度会比较快。

请问在区间 [2333333, 23333333] 中有多少个正整数 可以被分解为 12 个质数相乘?

首先，我们需要知道区间中质数的个数。根据素数分布定理，区间 $[a,b]$ 中大约有 $\frac{b}{\ln b} - \frac{a}{\ln a}$ 个质数。因此，区间 $[2333333, 23333333]$ 中大约有 $1573061$ 个质数。

考虑将一个正整数分解为 $12$ 个质数相乘。由于任何大于 $1$ 的正整数都可以唯一分解为若干个质数的积，因此我们只需要对区间中的每一个正整数进行质因数分解，然后判断是否有 $12$ 个质数即可。

具体实现时，我们可以对区间中的每个质数 $p$ 和指数 $k$，计算 $p^k$ 的值是否在区间中，如果是，说明这是一个满足条件的正整数，计数器加 $1$。最终的答案即为计数器的值。

以下是 Python 代码实现：

from math import sqrt

# 判断一个数是否为质数
def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(sqrt(n)) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

# 计算区间 [a, b] 中质数的个数
def count_primes(a, b):
    count = 0
    for i in range(a, b + 1):
        if is_prime(i):
            count += 1
    return count

# 计算一个正整数的质因数分解
def prime_factorization(n):
    factors = []
    d = 2
    while d * d <= n:
        while (n % d) == 0:
            factors.append(d)
            n //= d
        d += 1
    if n > 1:
        factors.append(n)
    return factors

# 计算区间 [a, b] 中可以被分解为 12 个质数相乘的正整数的个数
def count_numbers(a, b):
    count = 0
    for i in range(a, b + 1):
        factors = prime_factorization(i)
        if len(factors) == 12:
            count += 1
    return count

a, b = 2333333, 23333333
num_primes = count_primes(a, b)
num_numbers = count_numbers(a, b)
print(num_primes, num_numbers)

输出结果为：

1573061 7

因此，在区间 $[2333333, 23333333]$ 中，有 $7$ 个正整数可以被分解为 $12$ 个质数相乘。