python任何一个大于 1 的正整数都能被分解为若干个质数相乘, 比如 28 = 2 × 2 × 7 28=2×2×7 被分解为了三个质数相乘。请问在区间 [2333333, 23333333] 中有多少个正整数 可以被分解为 12 个质数相乘?
时间: 2024-06-01 22:11:14 浏览: 94
首先,我们需要预处理出区间内的所有质数。可以使用筛法,时间复杂度为 $O(n \log \log n)$。
接着,考虑如何统计符合条件的数的个数。将 12 个质数相乘可以看做是将这些质数分配到 12 个位置上,每个位置可以有 0 个、1 个或多个质数。因为我们已经预处理出了区间内的质数,所以可以使用回溯法枚举所有的分配情况。
具体来说,可以定义一个递归函数,参数为当前枚举到的位置和还需要分配的质数个数。在递归函数内部,我们可以使用一个循环枚举当前位置分配多少个质数,然后递归到下一个位置。当所有位置都分配完毕时,如果刚好分配完 12 个质数,就说明当前的分配方案符合条件,计数器加 1。时间复杂度为 $O(2^{12})$,因为每个位置可以有 0 个或 1 个质数,一共有 12 个位置。
最终的时间复杂度为 $O(n \log \log n + 2^{12})$。实际上,由于区间比较小,可以直接暴力枚举所有数,然后对每个数进行分解质因数,判断是否刚好分解为 12 个质数相乘。这样虽然时间复杂度比较高,但是实际运行速度也很快。
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任何一个大于 1 的正整数都能被分解为若干个质数相乘,比如 28 = 2×2×7\n被分解为了三个质数相乘。请问在区间 [2333333, 23333333] 中有多少个正整数\n可以被分解为 12 个质数相乘?
首先我们需要知道的是,任何一个大于 1 的正整数都可以被分解为若干个质数相乘的形式,这个结论称为质因数分解定理。因此,我们可以考虑枚举这 12 个质数,然后判断它们的乘积是否在给定的区间内。
具体地,我们可以先用筛法求出 [1, 23333333] 中的所有质数。由于 12 个质数相乘一定比较大,因此我们只需要枚举其中较小的几个质数,再用线性筛法求出它们的倍数中的质数,直到找到第 12 个质数为止。具体来说,假设当前枚举到的是第 i 个质数 p,我们可以用以下代码找到第 i+1 个质数 q:
```python
q = p + 1
while True:
if is_prime(q):
i += 1
if i == 12: # 已经找到了 12 个质数
break
p = q
q += 1
```
其中,`is_prime(x)` 表示判断 x 是否为质数的函数,可以用线性筛法来实现。在找到了 12 个质数之后,我们就可以对它们的乘积进行判断,看看是否在给定的区间内。
具体来说,我们可以从 2 开始枚举每个正整数 x,并统计能够被分解为 12 个质数相乘的个数:
```python
count = 0
for x in range(2, 23333334):
factors = get_prime_factors(x) # 获取 x 的质因数分解结果
if len(factors) == 12:
product = 1
for factor in factors:
product *= factor
if 2333333 <= product <= 23333333:
count += 1
print(count)
```
其中,`get_prime_factors(x)` 表示获取 x 的质因数分解结果的函数,可以用试除法来实现。
总时间复杂度为 $O(n\log n)$,其中 n 是给定区间的长度。实际上,由于我们只需要枚举 12 个质数,因此程序的运行速度会比较快。
从键盘输入一个正整数(>1),然后将该整数分解为1和各个质因子的相乘, # 如果输入的整数本身就是质数,则应分解为1和该数本身相乘。用Python编写
在Python中,我们可以使用循环和条件判断来实现这个功能。首先需要检查输入的数字是否是质数,如果是,则返回1乘以该数字;如果不是,我们遍历到该数字平方根范围内的所有数,看是否存在能整除它的质因数。下面是相应的代码示例:
```python
def prime_factors(n):
i = 2
factors = []
# 检查如果n小于等于1,直接返回空列表
if n <= 1:
return [1] * n
# 检查n是否为质数
while i * i <= n:
if n % i:
i += 1
else:
n //= i
factors.append(i)
# 如果n还是大于1,说明它是最后一个质因数
if n > 1:
factors.append(n)
# 返回质因数的乘积,如果只有一个因数是1,不需要单独列出
result = [1]
for factor in factors:
if factor != 1:
result.append(factor)
return result
# 获取用户输入并处理
input_num = int(input("请输入一个正整数(>1): "))
result = prime_factors(input_num)
print(f"{input_num}可以分解为:{''.join(str(factor) + '*' for factor in result[:-1])}{str(result[-1])}")
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