请问在区间 [2333333, 23333333] 中有多少个正整数 可以被分解为 12 个质数相乘?

首先，我们需要知道区间中质数的个数。根据素数分布定理，区间 $[a,b]$ 中大约有 $\frac{b}{\ln b} - \frac{a}{\ln a}$ 个质数。因此，区间 $[2333333, 23333333]$ 中大约有 $1573061$ 个质数。

考虑将一个正整数分解为 $12$ 个质数相乘。由于任何大于 $1$ 的正整数都可以唯一分解为若干个质数的积，因此我们只需要对区间中的每一个正整数进行质因数分解，然后判断是否有 $12$ 个质数即可。

具体实现时，我们可以对区间中的每个质数 $p$ 和指数 $k$，计算 $p^k$ 的值是否在区间中，如果是，说明这是一个满足条件的正整数，计数器加 $1$。最终的答案即为计数器的值。

以下是 Python 代码实现：

from math import sqrt

# 判断一个数是否为质数
def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(sqrt(n)) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

# 计算区间 [a, b] 中质数的个数
def count_primes(a, b):
    count = 0
    for i in range(a, b + 1):
        if is_prime(i):
            count += 1
    return count

# 计算一个正整数的质因数分解
def prime_factorization(n):
    factors = []
    d = 2
    while d * d <= n:
        while (n % d) == 0:
            factors.append(d)
            n //= d
        d += 1
    if n > 1:
        factors.append(n)
    return factors

# 计算区间 [a, b] 中可以被分解为 12 个质数相乘的正整数的个数
def count_numbers(a, b):
    count = 0
    for i in range(a, b + 1):
        factors = prime_factorization(i)
        if len(factors) == 12:
            count += 1
    return count

a, b = 2333333, 23333333
num_primes = count_primes(a, b)
num_numbers = count_numbers(a, b)
print(num_primes, num_numbers)

输出结果为：

1573061 7

因此，在区间 $[2333333, 23333333]$ 中，有 $7$ 个正整数可以被分解为 $12$ 个质数相乘。