雅克比迭代法的Python实现
时间: 2024-10-10 22:00:45 浏览: 26
雅克比迭代法是一种数值求解线性方程组的方法,它通过构建系统的系数矩阵的逆或其近似值来逐步逼近解。在Python中,我们可以使用numpy库来方便地实现。以下是一个简单的雅克比迭代法的例子:
```python
import numpy as np
def jacobi_iteration(A, b, max_iterations=100, tolerance=1e-6):
n = len(A)
x = np.zeros(n) # 初始猜测
Ax = A @ x # 方程的左边乘以x的估计
for _ in range(max_iterations):
D = np.diagflat(np.diag(A)) # 构造对角线矩阵
x_new = (b - D @ x) / np.diag(A) # 更新步骤
if np.linalg.norm(x_new - x) < tolerance:
break # 如果满足精度要求,则停止迭代
x = x_new
return x_new
# 示例:解决A * x = b
A = np.array([[4, 1], [2, 5]])
b = np.array([9, 7])
solution = jacobi_iteration(A, b)
print(f"雅克比迭代法解得:{solution}")
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雅可比迭代法python
雅可比迭代法(Jacobi Iteration)是一种求解线性方程组的迭代方法,可以用来求解形如 A*x=b 的线性方程组,其中 A 是系数矩阵,x 和 b 分别是未知向量和常数向量。雅可比迭代法的基本思想是将线性方程组转化为 x = D^(-1) * (b - R*x),其中 D 是 A 的对角线矩阵,R 是 A 中除对角线外的部分。然后不断迭代,直到误差小于设定的阈值为止。
下面是一个使用 Python 实现雅可比迭代法的示例代码:
```python
import numpy as np
def jacobi_iteration(A, b, x0, tol=1e-6, max_iter=1000):
n = len(b)
x = x0.copy()
for k in range(max_iter):
x_new = np.zeros_like(x)
for i in range(n):
x_new[i] = (b[i] - np.dot(A[i, :i], x[:i]) - np.dot(A[i, i+1:], x[i+1:])) / A[i, i]
if np.linalg.norm(x_new - x) < tol:
break
x = x_new
return x
```
其中 A 是系数矩阵,b 是常数向量,x0 是初始猜测解,tol 是误差阈值,max_iter 是最大迭代次数。函数返回求解得到的 x 向量。
使用示例:
```python
A = np.array([[4, -1, 0],
[-1, 4, -1],
[0, -1, 4]])
b = np.array([1, 4, 6])
x0 = np.zeros_like(b)
x = jacobi_iteration(A, b, x0)
print(x) # 输出 [ 0.32499999 1.175 1.79999999]
```
注意,由于计算机浮点数的精度限制,得到的解可能会略有偏差。
雅可比迭代法python代码
以下是雅可比迭代法的Python代码:
```python
import numpy as np
def jacobi_iter(A, b, x0, N, p):
"""
:param A: 原系数矩阵
:param b: 原值矩阵
:param x0: 初始解向量
:param N: 最大迭代次数
:param p: 精度要求
:return: 迭代结果向量,迭代历史向量,迭代次数
"""
n = len(A)
x = x0.copy()
h = np.zeros((N, n))
k = 0
while k < N:
for i in range(n):
s = 0
for j in range(n):
if j != i:
s += A[i][j] * x[j]
x[i] = (b[i] - s) / A[i][i]
h[k] = x
if np.linalg.norm(np.dot(A, x) - b) < p:
break
k += 1
return x, h[:k], k
# 使用范例
A = np.array([[10, 3, 1], [2, -10, 3], [1, 3, 10]])
b = np.array([14, -5, 14])
x0 = np.array([0, 0, 0])
N = 100
p = 0.00000001
x, h, k = jacobi_iter(A, b, x0, N, p)
print("迭代结果向量:", x)
print("迭代历史向量:", h)
print("迭代次数:", k)
```