S = \sum_{i=0}^{n} i \cdot C_{n}^{i} p^i*q^{n-i}
时间: 2024-04-28 11:15:38 浏览: 14
这是一个关于组合数的求和公式。公式中的$$C_{n}^{i}$$表示从n个元素中选择i个元素的组合数,p和q分别表示两个事件发生和不发生的概率。公式的含义是,对于从0到n的每个i,将i乘以$$C_{n}^{i}$$,然后乘以p的i次方,再乘以q的n-i次方,最后将所有结果相加得到S的值。
这个公式可以用来计算二项式分布的期望值。二项式分布是一种离散概率分布,描述了在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。公式中的S表示在n次试验中成功次数乘以对应的权重后的总和。
下面是一个示例代码,演示了如何使用Python计算S的值:
```python
import math
def calculate_S(n, p, q):
S = 0
for i in range(n+1):
coefficient = math.comb(n, i)
term = i * coefficient * (p**i) * (q**(n-i))
S += term
return S
n = 5
p = 0.6
q = 0.4
result = calculate_S(n, p, q)
print("S =", result)
```
输出结果为S的值。你可以根据需要修改n、p和q的值来计算不同的S。
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hat{y} = sum_{i=1}^{m}c_i/cdot |(x/in R_i)是什么公式
这个公式是用于加权平均的公式,其中:
- `m` 是样本的数量
- `c_i` 是样本 `i` 的权重
- `x` 是需要加权平均的数列
- `R_i` 是样本 `i` 的范围,用于对样本进行归一化
具体来说,公式的含义是:
- 对于每个样本 `i`,将 `x` 中落在 `R_i` 中的部分提取出来
- 对提取出来的部分进行归一化(除以 `R_i` 中的范围)
- 将归一化后的结果乘上 `c_i`,并将所有结果相加
- 得到的就是加权平均后的结果 `hat{y}`
举个例子,假设有三个样本,权重分别为 0.2、0.3、0.5,范围分别为 [0, 10]、[0, 20]、[0, 30],而 `x` 中的数列为 [5, 10, 15],则公式的计算过程如下:
- 对于第一个样本,提取出落在 [0, 10] 中的部分,即 [5, 10],归一化后为 [0.5, 1.0],乘上权重 0.2,得到 0.14
- 对于第二个样本,提取出落在 [0, 20] 中的部分,即 [5, 10, 15],归一化后为 [0.25, 0.5, 0.75],乘上权重 0.3,得到 0.225
- 对于第三个样本,提取出落在 [0, 30] 中的部分,即 [5, 10, 15],归一化后为 [0.1667, 0.3333, 0.5],乘上权重 0.5,得到 0.25
- 将三个结果相加,得到加权平均后的结果 0.615
把NMI = \frac{-2 \cdot \sum_{i=1}^C \sum_{j=1}^K \frac{n_{ij}}{n} \log\left(\frac{n_{ij} \cdot n}{n_i \cdot n_j}\right)}{\sum_{i=1}^C \frac{n_i}{n} \log\left(\frac{n_i}{n}\right) + \sum_{j=1}^K \frac{n_j}{n} \log\left(\frac{n_j}{n}\right)}转换成普通数学公式
将NMI的计算公式转换成普通数学公式:
NMI = \frac{-2 \cdot \sum_{i=1}^C \sum_{j=1}^K \frac{n_{ij}}{n} \log\left(\frac{n_{ij} \cdot n}{n_i \cdot n_j}\right)}{\sum_{i=1}^C \frac{n_i}{n} \log\left(\frac{n_i}{n}\right) + \sum_{j=1}^K \frac{n_j}{n} \log\left(\frac{n_j}{n}\right)}
可以进一步简化为:
NMI = \frac{2 \cdot I(C, K)}{H(C) + H(K)}
其中,
- I(C, K) 表示互信息(Mutual Information)的计算,定义为:I(C, K) = \sum_{i=1}^C \sum_{j=1}^K \frac{n_{ij}}{n} \log\left(\frac{n_{ij} \cdot n}{n_i \cdot n_j}\right)
- H(C) 表示聚类结果的熵(Entropy),定义为:H(C) = -\sum_{i=1}^C \frac{n_i}{n} \log\left(\frac{n_i}{n}\right)
- H(K) 表示真实标签的熵(Entropy),定义为:H(K) = -\sum_{j=1}^K \frac{n_j}{n} \log\left(\frac{n_j}{n}\right)
通过计算互信息、聚类结果的熵和真实标签的熵,可以得到NMI的值。