第一问用matlab欧拉法求解，给出具体代码

针对您提出的问题1，我们需要使用MATLAB通过欧拉方法来模拟涡流边界的演变过程。首先需要明确的是，原方程中的数学表达式较为复杂，并且涉及到特殊的积分函数（如完全椭圆积分）。这里我提供一个简化的示例代码框架以帮助理解如何实现：

% 定义参数
N = 500; % 边界采样点数量
Tmax = 100; % 最大模拟时间
dt = 0.1; % 时间步长
X = zeros(N, 2); % 初始化所有采样点的位置矩阵

% 初始条件 - 圆形边界
r = 5;
theta = linspace(0, 2*pi*(1-1/N), N);
X(:,1) = r * cos(theta); % x坐标
X(:,2) = r * sin(theta); % y坐标

% 记录初始状态
X_all = X;

% 主循环开始
for t = 0:dt:Tmax
    dX = zeros(N, 2);

    for k = 1:N
        idx_next = mod(k,N)+1; % 下一节点索引
        
        % 根据给定公式计算每个点的速度
        dx = (X(idx_next, :) - X(k, :))';
        norm_dx = norm(dx);
        perp = [dx(2); -dx(1)];
        
        % 对所有其他点进行累加
        for i = 1:N
            if i ~= k
                idx_next_i = mod(i,N)+1;
                dX(k,:) = dX(k,:) + log(norm((X(k,:)-X(idx_next_i,:)+X(i,:))/2)) / (2*pi) .* perp;
            end
        end
    end
    
    % 使用欧拉方法更新位置
    X = X + dt*dX;
    
    % 封闭曲线
    X([1:end 1],:) = X;
    
    % 存储每一时刻的状态
    X_all = cat(3, X_all, X);
end

% 绘制结果
figure;
hold on;
plot(X_all(:,:,1), X_all(:,:,2), 'b'); % 绘制整个轨迹
plot(X_all(:,:,1)[:,1], X_all(:,:,2)[:,1], 'r', 'LineWidth', 2); % 绘制最终形状
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Evolution of Vortex Boundary Over Time');

请注意，这个代码只给出了大致的框架。实际运行前还需要检查变量维度是否匹配，以及调整具体的数值参数以保证算法稳定收敛。
以上代码适用于圆形的初始边界情况。对于其他形状的边界，则需要相应地修改初始化部分。