矩阵快速幂求斐波那契数列

矩阵快速幂是一种高效的求解斐波那契数列的方法。根据引用，我们可以把斐波那契数列的递推公式抽象成一个矩阵运算的过程。然后，根据引用，我们可以使用矩阵快速幂的方法来求解斐波那契数列的第 n 项。具体来说，我们可以使用一个 2 阶矩阵来表示斐波那契数列的递推公式，然后使用矩阵快速幂的方法来计算这个矩阵的 n-1 次方，最后再乘以一个初始向量，就可以得到斐波那契数列的第 n 项了。代码实现可以参考引用。

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矩阵快速幂求解斐波那契数列

矩阵快速幂是一种高效的求解斐波那契数列的方法。斐波那契数列是一个数列，其中每个数都是前两个数的和，即F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)。如果使用暴力的方法求解斐波那契数列，时间复杂度为O(2^n)，而使用矩阵快速幂可以将时间复杂度降为O(logn)。

具体来说，我们可以将斐波那契数列的递推式写成矩阵的形式，即：

| F(n) | | 1 1 | | F(n-1) |
| | = | | * | |
| F(n-1) | | 1 0 | | F(n-2) |

然后使用矩阵快速幂的方法求解矩阵的n次方，即可得到F(n)的值。具体的步骤如下：

1. 将n转化为二进制形式。
2. 从低位到高位遍历n的二进制形式，如果当前位为1，则将结果乘上对应的矩阵的幂。
3. 将矩阵的幂平方，继续遍历n的二进制形式。
4. 最终得到的矩阵即为所求的结果。

需要注意的是，在矩阵乘法的过程中，需要对结果取模，以避免数值溢出。

矩阵快速幂实现斐波那契数列c++

以下是使用矩阵快速幂实现斐波那契数列的C++代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const ll mod = 1e9 + 7;

struct matrix {
    ll cell[2][2];
    matrix(ll a, ll b, ll c, ll d) {
        cell[0][0] = a;
        cell[0][1] = b;
        cell[1][0] = c;
        cell[1][1] = d;
    }
    matrix() {
        memset(cell, 0, sizeof(cell));
    }
};

matrix mul(matrix a, matrix b) {
    matrix r;
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            for (int k = 0; k < 2; k++) {
                r.cell[i][j] += a.cell[i][k] * b.cell[k][j] % mod;
                r.cell[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return r;
}

matrix matrixpow(ll k) {
    matrix r(1, 0, 0, 1);
    matrix cm(1, 1, 1, 0);
    while (k) {
        if (k & 1) r = mul(r, cm);
        cm = mul(cm, cm);
        k >>= 1;
    }
    return r;
}

ll fib(ll n) {
    if (n == 0) return 0;
    matrix res = matrixpow(n - 1);
    return res.cell[0][0];
}

int main() {
    ll n;
    cin >> n;
    cout << fib(n) << endl;
    return 0;
}