C++矩阵快速幂求斐波那契数列第n项

在C++中，矩阵快速幂是一种高效计算斐波那契数列第n项的方法。斐波那契数列定义为：F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)。通过矩阵形式可以表示为：

[ F(n)   ] = [ 1 1 ]^n [ F(1) ]
[ F(n-1) ]   [ 1 0 ]   [ F(0) ]

上述矩阵的n次方可以通过快速幂算法进行高效计算。

矩阵快速幂的核心思想是利用分治法将幂的计算过程分解为更小的幂次的计算。具体步骤如下：

1. 首先定义一个矩阵，例如：

   Matrix = [ 1 1 ]
            [ 1 0 ]

2. 使用快速幂算法计算矩阵的n次方。快速幂算法通过不断地将指数n分解为二的幂次来减少乘法的次数。具体来说，对于矩阵M和指数n，可以按照以下方式递归或迭代计算M的n次方：

- 如果n为偶数，那么M^n = (M^(n/2))^2。
- 如果n为奇数，那么M^n = M * (M^(n-1))。

3. 使用初始值构造单位矩阵，然后用快速幂计算得到的结果与初始单位矩阵相乘，最终得到的矩阵左上角的元素就是斐波那契数列第n项。

下面是使用C++实现矩阵快速幂求斐波那契数列第n项的代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int MOD = 1000000007; // 定义模数，用于处理大数问题

typedef vector<vector<long long>> Matrix;

// 矩阵乘法
Matrix multiply(const Matrix &a, const Matrix &b) {
    Matrix result(2, vector<long long>(2));
    for (int i = 0; i < 2; ++i) {
        for (int j = 0; j < 2; ++j) {
            result[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < 2; ++k) {
                result[i][j] = (result[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % MOD;
            }
        }
    }
    return result;
}

// 矩阵快速幂
Matrix quickPow(Matrix base, long long n) {
    Matrix result(2, vector<long long>(2, 1));
    while (n > 0) {
        if (n & 1) result = multiply(result, base);
        base = multiply(base, base);
        n >>= 1;
    }
    return result;
}

// 计算斐波那契数列第n项
int fibonacci(int n) {
    if (n == 0) return 0;
    Matrix base = {{1, 1}, {1, 0}};
    Matrix result = quickPow(base, n - 1);
    return result[0][0]; // 返回F(n)
}

int main() {
    int n;
    cout << "Enter the position of the Fibonacci sequence: ";
    cin >> n;
    cout << "Fibonacci number at position " << n << " is: " << fibonacci(n) << endl;
    return 0;
}

这个程序通过定义矩阵乘法和矩阵快速幂算法，计算出斐波那契数列的第n项。