任务时间表最优子结构证明

在动态规划中，如果一个问题具有最优子结构，那么我们可以将其划分为子问题，解决子问题，然后组合子问题的解来解决原问题。这个过程称为“自底向上”。

对于任务时间表问题，假设有n个任务，每个任务有一个开始时间、结束时间和收益。我们需要在这些任务之间选择一些任务来完成，以最大化收益，同时不出现时间冲突。

我们可以将问题划分为子问题：对于第i个任务，我们可以选择它或不选择它。如果我们选择它，那么就需要考虑前i-1个任务，而如果我们不选择它，那么就需要考虑前i-1个任务。

假设opt(i)表示前i个任务的最大收益。那么，我们可以得出以下子问题的最优解：

- 如果选择第i个任务，则opt(i) = opt(j) + v(i)，其中j是在i之前的最大的没有时间冲突的任务。
- 如果不选择第i个任务，则opt(i) = opt(i-1)。

因此，任务时间表问题具有最优子结构，可以使用动态规划来解决。

相关问题

贪心算法单位任务时间表最优子结构证明

假设我们有一个任务时间表，其中有 n 个任务需要完成。我们要将这些任务分配给 k 个可用的处理器，使得所有任务完成时间最小。我们可以使用贪心算法来解决这个问题。

假设我们已经找到了一个最优解，其中每个处理器都分配了一些任务。我们可以将这个最优解划分为两个部分：前面的任务分配给了一些处理器，后面的任务分配给了其余的处理器。我们可以证明，这个划分是最优子结构。

假设我们已经找到了一个最优解，其中前面的任务分配给了一些处理器，后面的任务分配给了其余的处理器。现在，我们要将后面的任务分配给原来分配这些任务的处理器之一。如果我们可以找到一个更优的解，那么这个更优的解也必须是将后面的任务分配给原来分配这些任务的处理器之一。

这是因为，如果我们将这些任务分配给另一个处理器，那么原来分配这些任务的处理器上的任务数会减少，而另一个处理器上的任务数会增加。如果这个更优的解比原来的解更优，那么这个处理器上的任务数减少了，而另一个处理器上的任务数增加了，这必须意味着另一个处理器比原来的处理器更快地完成了任务。因此，我们可以将后面的任务分配给原来分配这些任务的处理器之一，而不会影响最终的解。

因此，我们可以使用贪心算法来解决这个问题，因为它具有最优子结构的属性。