矩阵的对角线元素之和和他的伴随矩阵的特征值之和有什么关系

矩阵的对角线元素之和和它的伴随矩阵的特征值之和有一个重要的关系。具体来说，对于一个n维矩阵A，它的对角线元素之和为tr(A)，它的伴随矩阵为A*，则有以下等式成立：

tr(A*) = tr(A)^(n-1)

其中，tr表示矩阵的迹，即对角线元素之和。

这个等式可以用于计算矩阵的伴随矩阵的特征值之和，从而简化计算。例如，如果我们需要计算一个3×3矩阵A的伴随矩阵A*的特征值之和，则可以先计算出A的对角线元素之和tr(A)，然后代入上述公式中，得到tr(A*)的值，最终可以通过求解A*的特征多项式来计算出A*的特征值之和。

需要注意的是，上述等式只在矩阵A可逆时成立。当A不可逆时，它的伴随矩阵可能不存在或者不唯一，因此无法应用上述公式。

相关问题

可逆矩阵的对角线元素之和和他的伴随矩阵的特征值之和有什么关系

设矩阵 $A$ 为可逆矩阵，其对角线元素之和为 $tr(A)$，伴随矩阵为 $A^*$，则 $A A^* = A^* A = |A|I$，其中 $|A|$ 表示 $A$ 的行列式，$I$ 为单位矩阵。

对上式两边求迹，得到 $tr(AA^*) = tr(A^*A) = tr(|A|I) = |A|n$，其中 $n$ 为矩阵 $A$ 的阶数。

因为 $A$ 可逆，所以 $|A| \neq 0$，因此有：

$$
tr(AA^*) = tr(A^*A) = |A|n
$$

对伴随矩阵 $A^*$ 求特征值，得到：

$$
det(A^*-\lambda I) = 0
$$

展开得到：

$$
A^{n-1}(A-\lambda I) = 0
$$

因为 $A$ 可逆，所以有 $A^{n-1} \neq 0$，因此 $A-\lambda I$ 必须是一个奇异矩阵，即 $det(A-\lambda I) = 0$。因此 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，且有 $n$ 个。

根据矩阵迹和矩阵特征值的定义，有：

$$
tr(A^*) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i
$$

因此，可逆矩阵 $A$ 的对角线元素之和与它的伴随矩阵 $A^*$ 的特征值之和有如下关系：

$$
tr(A) = tr(A^*) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i
$$

求一个3×3矩阵对角线元素之和

以下是使用C++语言求一个3×3矩阵对角线元素之和的示例代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int arr[3][3];
    int sum = 0;

    cout << "请输入9个数字：" << endl;
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            cin >> arr[i][j];
        }
    }

    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        sum += arr[i][i];
    }

    cout << "3 × 3矩阵对角线元素之和为：" << sum << endl;

    return 0;
}

运行示例代码后，程序会要求用户输入9个数字，然后计算出3×3矩阵对角线元素之和，并将结果输出。