使用邻接矩阵表示,创建一个无向网,然后用prim算法,求解最小生成树
时间: 2024-03-06 15:51:45 浏览: 16
好的,让我解答你的问题。
首先,让我们来了解一下邻接矩阵是什么。邻接矩阵是一种表示图的方法,它使用一个二维数组来表示各个节点之间的边。如果两个节点之间存在边,则在相应的矩阵元素中存储权重值,否则存储0或者无穷大的值。对于无向图而言,邻接矩阵是对称的,也就是说,如果节点i和节点j之间存在边,则邻接矩阵中的(i,j)和(j,i)两个元素都要存储相应的权重值。
下面我们来创建一个无向网的邻接矩阵。假设我们有如下的无向网:
```
A----5----B
|\ /|\
| \ / | \
8 3 2 6 9
| \ / | \
| C | D
| / \ | /
4 7 6 1 5
| / \ | /
|/ \|(
E----8----F
```
我们将每个节点用字母表示,将它们编上号,那么它们的编号分别为0到5。我们可以用一个6x6的邻接矩阵来表示这个无向网,其中0表示节点之间没有边相连,无穷大表示节点之间没有直接的路径。邻接矩阵如下所示:
```
0 1 2 3 4 5
0 0 5 8 0 0 0
1 5 0 3 2 6 9
2 8 3 0 0 7 6
3 0 2 0 0 0 1
4 0 6 7 0 0 5
5 0 9 6 1 5 0
```
接下来,我们使用Prim算法来求解这个无向网的最小生成树。Prim算法是一种贪心算法,它从一个节点开始,逐渐将与之相邻的节点加入到最小生成树中,直到所有节点都被加入到最小生成树中为止。在每一步中,Prim算法选择与当前最小生成树距离最近的节点,并将它加入到最小生成树中。具体实现过程如下:
1. 首先,将任意一个节点加入到最小生成树中,初始化距离数组dist,将所有节点的距离初始化为与之相邻的节点的距离,如果没有相邻的节点,则距离初始化为无穷大。
2. 在距离数组dist中找到当前距离最小的节点,将它加入到最小生成树中,并将其标记为已经访问过。
3. 遍历与新加入节点相邻的节点,更新这些节点到最小生成树的距离,如果更新后的距离小于原来的距离,则更新距离数组dist中的值。
4. 重复步骤2和步骤3,直到所有节点都被加入到最小生成树中为止。
下面是使用Prim算法求解最小生成树的过程:
1. 首先,假设我们选择节点A作为起始节点。初始化距离数组dist为[0,5,8,inf,inf,inf],表示节点0到各个节点的距离分别为0,5,8,其余节点到节点0的距离为无穷大。将节点0加入到最小生成树中。
```
0
/ | \
5 8 inf
| |
1--2
|
inf
|
4--3
|
inf
|
5--4
```
2. 在距离数组dist中找到距离最小的节点B,将其加入到最小生成树中。更新距离数组dist为[0,5,3,2,6,9]。
```
0
/ | \
5 8 inf
| |
1--2
|\
inf 6
| \
4--3 7
|
inf
|
5--4
```
3. 在距离数组dist中找到距离最小的节点D,将其加入到最小生成树中。更新距离数组dist为[0,5,3,2,1,5]。
```
0
/ | \
5 8 inf
| | |
1--2--3
|\
inf| 6
| \
4--7 7
|
inf
|
5--4
```
4. 在距离数组dist中找到距离最小的节点F,将其加入到最小生成树中。更新距离数组dist为[0,5,3,2,1,5]。
```
0
/ | \
5 8 inf
| | |
1--2--3
|\ |
inf| 6|\
| \| \
4--7--6--5
|
inf
|
5--4
```
5. 在距离数组dist中找到距离最小的节点C,将其加入到最小生成树中。更新距离数组dist为[0,2,3,2,1,5]。
```
0
/ | \
5 2 inf
| | |
1--2--3
|\ |
inf| 6|\
| \| \
4--7--6--5
|
inf
|
5--4
```
6. 最后,在距离数组dist中找到距离最小的节点E,将其加入到最小生成树中。更新距离数组dist为[0,2,3,2,1,5]。
```
0
/ | \
5 2 inf
| | |
1--2--3
|\ |
4| 6|\
| \| \
5--7--6--5
```
这样,我们就得到了这个无向网的最小生成树。