β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i 这个又怎么办

在MATLAB中，可以使用以下代码实现辅助函数和β的微分方程：

function [delta, beta_dot] = control_law(sigma, beta, alpha_0, m, u, w)
% sigma为滑模面，beta为辅助变量，alpha_0和m为常数，u和w分别为控制器的输出和实际输出
delta = u - w;
beta_dot = -alpha_0/m * beta + delta/m;
end

这段代码定义了一个名为`control_law`的函数，输入参数包括滑模面`sigma`、辅助变量`beta`、常数`alpha_0`和`m`、控制器的输出`u`和实际输出`w`，输出参数为辅助函数的值`delta`和β的微分方程的值`beta_dot`。其中，辅助函数的计算结果即为控制器输出与实际输出之间的差值，可以用于满足输入约束条件；β的微分方程的计算结果即为β的导数，用于描述β随时间变化的规律。该函数可以作为列车滑模控制器的主要控制律，用于计算出控制器的输出和β的变化过程。

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β ̇_i =-α_0/m_i ∙β_i+(∆_i )/m_i 如何在MATLAB表达β_i

在MATLAB中，可以使用符号计算工具箱来表示和操作符号表达式。假设你已经定义了符号变量 `alpha_0`、`m_i`、`beta_i` 和 `delta_i`。那么可以如下表示和操作符号表达式：

syms alpha_0 m_i beta_i delta_i
ode = diff(beta_i) == -alpha_0/m_i * beta_i + delta_i/m_i;

这里 `ode` 表示微分方程，其中 `diff(beta_i)` 表示对 `beta_i` 求一阶导数。你可以使用符号数值方法工具箱中的 `dsolve` 函数求解微分方程，如下所示：

sol = dsolve(ode);

`sol` 表示微分方程的通解，其中 `C1` 是一个常数。你可以根据初始条件求解 `C1` 的值，例如：

beta_i0 = 1; % 初始值
delta_i0 = 0; % 初始值
C1 = solve(subs(sol, 0) == beta_i0, 'C1');

这里 `subs` 函数用来替换符号变量的值，并求解 `C1` 的值。接下来，你可以将 `C1` 的值代入 `sol` 中，得到特解：

beta_i_t = subs(sol, C1, C1_sol);

这里 `C1_sol` 是 `C1` 的解。至此，你就可以用 MATLAB 表示出 `beta_i` 的解析式了。如果需要求出具体的数值解，可以使用 `subs` 函数代入具体的 `alpha_0`、`m_i` 和 `delta_i` 的值，例如：

alpha_0_val = 1; % alpha_0 的值
m_i_val = 2; % m_i 的值
delta_i_val = 3; % delta_i 的值
beta_i_val = subs(beta_i_t, {alpha_0, m_i, delta_i}, {alpha_0_val, m_i_val, delta_i_val});

这里 `subs` 函数用来代入具体的值，得到数值解 `beta_i` 的值。

其中，p_i=σ_i-β_i，是重新定义的误差函数。为了保证系统的稳定性，我们选取Lyapunov函数作为证明的基础。同时，根据式(4-3)中的β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i，可以得到： p_i ̇=-α_0/m_i ∙p_i^2+∆_i (t)∙p_i/m_i

是的，您理解得非常正确。重新定义的误差函数为p_i=σ_i-β_i，这里的σ_i是期望的速度，β_i是实际的速度。通过对Lyapunov函数进行求导，我们可以得到p_i ̇=-α_0/m_i ∙p_i^2+∆_i (t)∙p_i/m_i，其中，α_0是一个经验常数，m_i是列车的质量，∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t)是辅助函数。这个式子描述了误差函数的变化率，根据这个式子可以判断系统的稳定性。