设随机变量(X, Y)的联合分布函数为F(x, y),联合密度函数为f(x, y),则∂ 2F(x,y) ∂x∂y = f(x, y)。
时间: 2023-09-02 17:06:26 浏览: 75
这是正确的。根据多元微积分中的定义,对于二元函数F(x, y),如果它是可微的,则其二阶混合偏导数存在且相等,即:
∂^2F(x,y) / ∂x∂y = (∂/∂x)(∂F(x,y) / ∂y) = (∂/∂y)(∂F(x,y) / ∂x)
由于F(x, y)是联合分布函数,因此有:
∂F(x,y) / ∂x = ∫f(u, y)du (其中积分区间为从负无穷到x)
∂F(x,y) / ∂y = ∫f(x, v)dv (其中积分区间为从负无穷到y)
将上述式子带入到∂^2F(x,y) / ∂x∂y的公式中,可以得到:
∂^2F(x,y) / ∂x∂y = (∂/∂x)(∂F(x,y) / ∂y) = (∂/∂x)(∫f(u, y)du) = f(x, y)
因此,得证∂^2F(x,y) / ∂x∂y = f(x, y)。
相关问题
已知边缘分布X,Y,以及X,Y的函数Z=XY的分布,求随机变量X和Z的联合分布
根据乘法公式,可以得到X和Z的联合概率密度函数为:
f(x,z) = f(x) * f(z|x)
其中,f(x)是已知的边缘分布X的概率密度函数,f(z|x)是条件分布Z|X的概率密度函数。
由于Z=XY,因此Z|X的分布可以表示为:
f(z|x) = f(x)^(-1) * f(z/x|x)
将Z=XY代入,得到:
f(z|x) = x^(-1) * f(z/x|x)
因此,X和Z的联合概率密度函数为:
f(x,z) = f(x) * x^(-1) * f(z/x|x)
这就是X和Z的联合分布。
已知边缘分布X,Y和X、Y的联合分布,以及X,Y的函数Z=XY的分布,求随机变量X和Z的联合分布
根据乘法公式,可以得到X和Z的联合概率密度函数为:
f(x,z) = f(x) * f(z|x)
其中,f(x)是已知的边缘分布X的概率密度函数,f(z|x)是条件分布Z|X的概率密度函数。
由于Z=XY,因此Z|X的分布可以表示为:
f(z|x) = f(x)^(-1) * f(z/x|x)
将Z=XY代入,得到:
f(z|x) = x^(-1) * f(z/x|x)
因此,X和Z的联合概率密度函数为:
f(x,z) = f(x) * x^(-1) * f(z/x|x)
由于已知X、Y的联合分布,可以通过边缘分布和联合分布之间的关系得到条件分布Z|X的概率密度函数,即:
f(z|x) = ∫f(x,y)dy / x
其中,f(x,y)是X、Y的联合概率密度函数。
因此,X和Z的联合概率密度函数为:
f(x,z) = f(x) * ∫f(x,y)dy / (x^2 * f(z/x|x))
这就是X和Z的联合分布。
相关推荐
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)