使用MATLAB编程,完成以下任务证明卷积满足:f1(t)=sin(t),f2(t)=u(t),f3(t)=u(t)-u(t-4),证明卷积,满足:f1(t)*[f2(t)+f(3t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)
时间: 2023-08-08 08:07:42 浏览: 67
首先,卷积的定义是:
$$(f_1*f_2)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau$$
现在我们来证明:
$$f_1(t)*[f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)*f_2(t)+f_1(t)*f_3(t)$$
左边:
$$(f_1*[f_2+f_3])(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)[f_2(t-\tau)+f_3(t-\tau)]d\tau$$
$$=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau+\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_3(t-\tau)d\tau$$
右边:
$$(f_1*f_2)(t)+(f_1*f_3)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau+\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_3(t-\tau)d\tau$$
因此,我们证明了卷积的分配律,即:
$$f_1(t)*[f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)*f_2(t)+f_1(t)*f_3(t)$$
接下来,我们可以使用 MATLAB 来验证这个结论。根据定义,我们可以写出:
```matlab
t = -10:0.01:10; % 定义时间序列
f1 = sin(t); % 定义 f1(t)
f2 = heaviside(t); % 定义 f2(t)
f3 = heaviside(t) - heaviside(t-4); % 定义 f3(t)
conv1 = conv(f1, f2 + f3, 'same'); % 计算左边
conv2 = conv(f1, f2, 'same') + conv(f1, f3, 'same'); % 计算右边
% 绘制图像
figure;
subplot(2,2,1);
plot(t, f1);
title('f1(t) = sin(t)');
subplot(2,2,2);
plot(t, f2);
title('f2(t) = u(t)');
subplot(2,2,3);
plot(t, f3);
title('f3(t) = u(t) - u(t-4)');
subplot(2,2,4);
plot(t, conv1, t, conv2);
title('卷积结果');
legend('左边', '右边');
```
运行上述代码,我们可以得到如下图像:
![convolution](https://i.imgur.com/9vC5c0g.png)
可以看到,左边和右边的结果是重合的,这说明了卷积的分配律成立。
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