分支界限法解决01背包的分析以及其C语言代码

分支界限法是一种用于求解组合优化问题的搜索策略，它通过剪枝（elimination of branches）来避免探索无效的解决方案空间。对于01背包问题，这是一个典型的问题，目标是在不超过背包容量的前提下，选择物品使得总价值最大。

分析：
1. **状态表示**：通常采用动态规划（Dynamic Programming），定义dp[i][j]表示前i个物品能够装入容量为j的背包的最大价值。
2. **决策变量**：决策在于是否选择第i个物品，选择则价值加物品i的价值，不选则保持当前价值不变。
3. **递推公式**：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i)，其中w_i是第i个物品的重量，v_i是其价值。
4. **剪枝规则**：如果考虑的物品重量大于剩余背包容量，那么就不能再包含这个物品，此时可以剪枝。

C语言代码示例（简化版）：

#include <stdio.h>

int knapsack(int W, int wt[], int val[], int n) {
    int i, w;
    int dp[n+1][W+1];

    // 初始化所有状态为0
    for (i = 0; i <= n; i++)
        for (w = 0; w <= W; w++)
            dp[i][w] = 0;

    // 动态规划填充过程
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        for (w = 1; w <= W; w++) {
            if (wt[i-1] <= w)
                dp[i][w] = max(val[i-1] + dp[i-1][w-wt[i-1]], dp[i-1][w]);
            else
                dp[i][w] = dp[i-1][w];
        }
    }

    return dp[n][W];
}

// 主函数
int main() {
    int val[] = {60, 100, 120};
    int wt[] = {10, 20, 30};
    int W = 50;
    int n = sizeof(val) / sizeof(val[0]);

    printf("最大价值: %d\n", knapsack(W, wt, val, n));

    return 0;
}