给定一个 k 位整数 n=d \nk−1\n​\t\n 10 \nk−1\n +⋯+d \n1\n​\t\n 10 \n1\n +d \n0\n​\t\n (0≤d \ni\n​\t\n ≤9, i=0,⋯,k−1, d \nk−1\n​

### 回答1：
根据题意，给定一个整数 k 和一个 k 位整数 n=d[k-1]d[k-2]...d[1]d[0]，其中每一位数字 d[i] 满足 0≤d[i]≤9，需要计算以下两个值：

1. 数字 n-1,n-2,...,n-k+1 的和。

2. 数字 n-1,n-2,...,n-k+1 的十进制表示中，所有数字 1 的个数。

下面分别介绍两种解法：

解法一：暴力模拟

可以直接模拟数字 n-1,n-2,...,n-k+1，计算它们的和并统计其中数字 1 的个数。具体地，我们可以从 n-1 开始逐个减去 1，每次减完之后将得到的数按位分解，统计其中数字 1 的个数即可。对于每个数字，可以用取模和除法来依次获取它的各个位。

算法的时间复杂度为 O(k(n-1))，其中 n 是输入整数，k 是它的位数。

解法二：找规律

我们可以尝试找到数字 n-1,n-2,...,n-k+1 的和和数字 1 的个数之间的规律。不难发现，这两个问题的答案都只与数字 d[k-1]~d[0] 有关，与其他位上的数字无关。

设 S 表示数字 n-1,n-2,...,n-k+1 的和，C 表示其中数字 1 的个数，则有：

S = (d[k-1]-1)×10^(k-1) + (d[k-2]-1)×10^(k-2) + ... + (d[1]-1)×10 + d[0]×k
C = (d[k-1]≥1) + (d[k-2]≥1) + ... + (d[1]≥1) + (d[0]≥1) + (d[k-1]-1)×(k-1)×10^(k-2) + (d[k-2])×(k-2)×10^(k-3) + ... + (d[1])×1×10^0

可以用上面的公式计算出 S 和 C。

算法的时间复杂度为 O(k)，可以很快计算出结果。

### 回答2：
这个给定的 k 位整数，可以看做是由 k 个数字 d 组成，其中第一个数字是 d0，第二个数字是 d1，以此类推，最后一位数字是 d(k-1)。我们可以把它写成一个数列的形式：

（d0，d1，d2，...，d(k-1)）

其中，我们可以把这个数列按照倒序排序，得到如下的数列：

（d(k-1)，d(k-2)，...，d1，d0）

这个数列就是这个 k 位整数的倒序表示。例如，对于整数 12345，它的倒序表示就是 54321。

这个数列还可以转化成一个数，只需要依次把每一位数字乘上相应的权值，再相加即可。这个权值的计算方法很简单：第 i 位数字的权值是 10^(k-i-1)。例如，在整数 12345 中，第二位数字为 2，它的权值为 10^(5-2-1)=1000。因此，可以把整数 12345 转化成：1×10^4+2×10^3+3×10^2+4×10^1+5×10^0=12345。

对于这个 k 位整数，我们除了可以得到它的倒序表示和它对应的数值表示之外，还可以得到它的各位数字之和。各位数字之和可以通过把这个数列中的所有数字相加得到，即：

d0+d1+d2+...+d(k-1)

这样，我们就得到了给定的 k 位整数的三种表示方法，分别是倒序表示、数值表示和各位数字之和。

### 回答3：
题目描述：

给定一个k位整数n=d[k-1]d[k-2]…d[1]d[0] (0≤dk-1，dk-2，…，d1，d0≤9)，请编写程序求出这个数对10^9+7取模后的值。

解题思路：

这道题实际上就是求一个大数对10^9+7取模的余数，由于数非常大，我们不能直接进行求余，需要用到一些数学上的技巧。

因为我们知道(a+b)%p=(a%p+b%p)%p，所以可以想到，对于一个数n，我们可以将它拆分为若干个简单的数相加，然后对每个简单数取余之后再相加，就可以得到最终的余数，即 (d[0]*10^0 + d[1]*10^1 + … + d[k-1]*10^(k-1))%M = ((d[0] % M)*10^0 + (d[1] % M)*10^1 + … + (d[k-1] % M)*10^(k-1))%M。

由于这个式子中的幂次已经是很大的，所以这么做的话仍然会溢出，不过我们还可以做一些小优化，比如使用快速幂来计算每个10的幂次的值，这样就可以避免溢出问题。

所以我们可以写一个循环遍历每个数位，先使用快速幂计算出对应的10的幂次的值，然后将每个位数上的数对M取余之后再乘上对应的幂次值，最后再累加起来就可以得到结果了。

参考代码：