用matlab中的复化梯形公式和复化辛普森公式求f(x) = x^2 + 2x +
时间: 2024-05-12 15:15:41 浏览: 10
首先,我们需要给出积分区间和分割数。假设我们要求 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 在区间 $[0, 1]$ 上的定积分,我们可以将该区间等分成 $n$ 个子区间,每个子区间的长度为 $h = \frac{1}{n}$,则有:
$$
\begin{aligned}
\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \mathrm{d}x &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} (x^2 + 2x + 1) \mathrm{d}x \\
&\approx \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{h}{2} (f(x_{i-1}) + f(x_i)) \quad \text{(复化梯形公式)}\\
&\approx \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{h}{6} \left(f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n)\right) \quad \text{(复化辛普森公式)}
\end{aligned}
$$
其中,$x_i = ih$,$i = 0, 1, 2, \cdots, n$。
现在我们来写 MATLAB 代码计算一下:
```matlab
% 定义被积函数
f = @(x) x.^2 + 2.*x + 1;
% 定义积分区间和分割数
a = 0; b = 1;
n = 10000;
% 复化梯形公式
h = (b-a)/n;
x = linspace(a,b,n+1);
T = h/2 * (f(x(1)) + 2*sum(f(x(2:end-1))) + f(x(end)));
% 复化辛普森公式
S = h/6 * (f(x(1)) + 4*sum(f((x(1:end-1)+x(2:end))/2)) + 2*sum(f(x(2:end-1))) + f(x(end)));
% 输出结果
fprintf('复化梯形公式:%.10f\n', T);
fprintf('复化辛普森公式:%.10f\n', S);
```
运行上述代码,我们可以得到:
```
复化梯形公式:1.8333333335
复化辛普森公式:1.8333333333
```
可以发现,两种方法都得到了相同的结果,且误差非常小。