平面上两条直线,它们采用齐次坐标的方程分别是l1*x1+l2*x2+l3*x3=0和s1*x1+s2*x2+s3*x3=0,验证它们的交点的齐次坐标是(l2*s3-l3*s2,l3*s1-l1*s3,l1*s2-l2*s1)。
时间: 2023-11-14 15:05:58 浏览: 41
两条直线的方程分别是l1*x1 + l2*x2 + l3*x3 = 0和s1*x1 + s2*x2 + s3*x3 = 0。我们可以用齐次坐标来表示交点的坐标,假设交点的齐次坐标为 (x', y', z'),则有以下等式成立:
l1*x' + l2*y' + l3*z' = 0
s1*x' + s2*y' + s3*z' = 0
我们可以使用行列式的方法来求解这个方程组。构建一个 3x3 的矩阵 M:
M = |l1, l2, l3|
|s1, s2, s3|
|x', y', z'|
然后计算矩阵 M 的行列式 det(M),如果 det(M) = 0,则表示方程组有非零解,即直线相交;如果 det(M) ≠ 0,则表示方程组无解,即直线平行或重合。
根据克莱姆法则,可以求得交点的齐次坐标为:
x' = |l2, l3|
|s2, s3| / det(M)
y' = |l3, l1|
|s3, s1| / det(M)
z' = |l1, l2|
|s1, s2| / det(M)
所以,交点的齐次坐标是 (l2*s3 - l3*s2, l3*s1 - l1*s3, l1*s2 - l2*s1)。
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一阶导数:
∂f/∂x1 = 2*x1 + 2*(2*x2+x1) = 4*x1 + 4*x2
∂f/∂x2 = 4*x2**3 + 4*(2*x2+x1)
二阶导数:
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∂²f/∂x2² = 12*x2**2 + 4
然后,我们可以使用牛顿法的迭代公式来更新当前点的位置,直到满足收敛条件。迭代公式如下:
x(k+1) = x(k) - H^(-1) * ∇f(x(k))
其中,x(k) 是第 k 次迭代的点,H 是 Hessian 矩阵,∇f(x(k)) 是梯度向量。
下面是使用Python代码实现牛顿法求解该方程的极小值和对应的 x1、x2 坐标点:
```python
import numpy as np
def f(x):
x1, x2 = x
return x1**2 + x2**4 + (2*x2+x1)**2
def gradient(x):
x1, x2 = x
df_dx1 = 4*x1 + 4*x2
df_dx2 = 4*x2**3 + 4*(2*x2+x1)
return np.array([df_dx1, df_dx2])
def hessian(x):
x1, x2 = x
d2f_dx1dx1 = 4
d2f_dx1dx2 = 4
d2f_dx2dx2 = 12*x2**2 + 4
return np.array([[d2f_dx1dx1, d2f_dx1dx2], [d2f_dx1dx2, d2f_dx2dx2]])
def newton_method(x0, epsilon=1e-6, max_iterations=100):
x = x0
for i in range(max_iterations):
grad = gradient(x)
hess_inv = np.linalg.inv(hessian(x))
delta_x = np.dot(hess_inv, grad)
x -= delta_x
if np.linalg.norm(delta_x) < epsilon:
break
return x, f(x)
# 初始点
x0 = np.array([0, 0])
# 调用牛顿法求解极小值和坐标点
result_x, result_y = newton_method(x0)
print("极小值 y =", result_y)
print("x1 =", result_x)
print("x2 =", result_x)
```
希望对你有帮助!如果有任何问题,请随时提问。