||1/(k+1)!||/||1/k!||的极限

要计算极限 ||1/(k 1)!||/||1/k!||，我们可以先展开阶乘的定义。我们知道，阶乘的定义是 k! = k * (k-1) * (k-2) * ... * 2 * 1。因此，我们可以将式子展开为：

||1/(k+1)!|| / ||1/k!|| = ||1/((k+1)*(k!))|| / ||1/k!|| = ||k!/((k+1)*(k!))|| / ||1/k!||

接下来，我们可以化简分数的形式：

= ||k!/(k+1)k!|| / ||1/k!||

然后，我们可以消去 k!：

= ||1/(k+1)|| / ||1/k||

随着 k 的增大，分数 ||1/(k+1)|| 和 ||1/k|| 都趋近于 0。因此，极限为 0。

相关问题

||x^(k+1)||/||x^k||的极限

根据给出的式子，我们可以将其转化为极限的形式求解。设 x^k ≠ 0，则有：

lim(x→∞) ||x^(k+1)|| / ||x^k||

= lim(x→∞) ||x^(k+1)|| * (1 / ||x^k||)

= lim(x→∞) ||x^k * x|| * (1 / ||x^k||)
= lim(x→∞) ||x|| * (1 / ||x^k||)

= lim(x→∞) (||x|| / ||x^k||)

由于 k 是常数，那么 x 的阶数比 x^k 高，即 x^k 的阶数小于 x。因此，当 x 趋向正无穷时，分子和分母都趋向正无穷，所以可以使用洛必达法则。

利用洛必达法则，我们对分子和分母同时求导，得到：

lim(x→∞) (d/dx ||x||) / (d/dx ||x^k||)

= lim(x→∞) (d/dx x) / (d/dx x^k)

= lim(x→∞) 1 / (k * x^(k-1))

当 k > 1 时，极限等于 0.

当 k = 1 时，极限等于 1.

当 k < 1 时，极限不存在。

所以，极限值取决于 k 的取值情况。

1+3/2+….+（2n-1）/n!

### 回答1：
这是一个数列求和的问题，数列的通项公式为 (2k-1)/k!，其中 k 从 1 取到 n。

将每一项代入公式，得到：

1+3/2+5/6+7/24+...+(2n-1)/n!

需要将每一项化简成通分数，然后再求和。具体步骤如下：

1. 将每一项的分母化成 k! 的形式，即：

1 = 1!/1!
3/2 = 3!/2!/3
5/6 = 3!/2!/3 * 5/4
7/24 = 3!/2!/3 * 5/4 * 7/6
...

2. 将每一项的分子化成 2k-1 的形式，即：

1 = 2*1-1
3/2 = 2*2-1
5/6 = 2*3-1
7/24 = 2*4-1
...

3. 将每一项的分子分母相乘，得到：

1 = 1!/1!
3/2 = 3!/2!/3
5/6 = 3!/2!/3 * 5/4
7/24 = 3!/2!/3 * 5/4 * 7/6
...

4. 将每一项相加，得到最终的结果：

1+3/2+5/6+7/24+...+(2n-1)/n! = (1+3+5/2+7/6+...+(2n-1)/(n-1)!)/n!

其中，分子的部分是一个等差数列，公差为 1，首项为 1，末项为 2n-1。根据等差数列求和公式，可得：

1+3+5/2+7/6+...+(2n-1)/(n-1)! = n!(2n-1)/(n+1)

将其代入原式，得到：

1+3/2+5/6+7/24+...+(2n-1)/n! = (n!(2n-1)/(n+1))/n!

化简可得：

1+3/2+5/6+7/24+...+(2n-1)/n! = (2n-1)/(n+1)

因此，原式的结果为 (2n-1)/(n+1)。

### 回答2：
这个数列的通项公式可以写为：（2n-1）/n!。

其中，“n!”表示n的阶乘，即n的所有正整数乘积，例如3！=3×2×1=6。因为阶乘的增长速度非常快，所以当n变得很大时，分母n!的影响会变得越来越大，而分子2n-1的影响会变得越来越小，因此数列的通项公式趋近于0。

此外，对于每个n，（2n-1）/n!的值都是正数，因为分子2n-1是奇数，分母n!是正整数，所以其值必须是正的。

换句话说，这是一个非常逐渐递减的正数数列，其值越来越接近于0，直到最后几乎为0。实际上，在n趋近于无穷大时，这个数列的极限为0，可以用数学方法证明。

总之，这个数列的通项公式为（2n-1）/n!，它是一个非常小的逐渐递减的正数数列，趋近于0，并且在n趋近于无穷大时，其极限为0。

### 回答3：
首先要理解题目中的表达式。这是一个数列，每一项的分子是奇数数列（1，3，5，7，9……）从1开始第n项的数，分母是从1开始的n的阶乘（1!，2!，3!，4!……）。

我们可以通过一些计算来推导出数列的通项公式。假设数列的通项公式是an=m/n!，其中m是一个关于n的函数，那么我们可以通过递推式来计算这个函数的值。

根据递推式，我们可以列出以下的等式：

an = (2n-1)/(n!) = (2n-1)/(n(n-1)!) = 2(n-1)+1/(n-1)!n
an-1 = (2n-3)/((n-1)!) = (2n-3)/((n-1)(n-2)!)) = 2(n-2)+1/((n-2)!)(n-1)

因为an-1和an都有分母是(n-1)!的部分，我们可以消去它们，然后得到以下的等式：

an = [(2n-1)/n]an-1

我们可以通过递推得出：

a1 = 1/1!
a2 = 3/2!
a3 = 5/3!
……
an = [(2n-1)/n]an-1

我们可以通过上面的递推式计算出更多项，然后发现这个数列的通项公式是：

an = (2n-1)/n!

现在我们可以证明这个公式，然后验证它的正确性。我们可以通过数学归纳法来证明这个公式。首先，当n=1时，公式成立，因为：

a1 = (2×1-1)/1! = 1/1!
式子左边的值为a1，等于式子右边的值，所以公式成立。

然后，假设当n=k时，公式也成立，即：

ak = (2k-1)/k!

我们需要证明当n=k+1时，公式也成立，那么：

ak+1 = (2(k+1)-1)/(k+1)!
= (2k+1)/(k+1)×(2k-1)/k!
= [(2k+1)/k]×[(2k-1)/k!]
= [(2k-1)/k!]×[(2k+1)/k+1]
= ak×[(2k+1)/(k+1)]

这个式子和递推式是一样的，所以我们已经证明了这个公式成立。

因此，我们可以得出这个数列的通项公式是an=(2n-1)/n!，这个公式是正确的。