k从1到n的和对于i从1到n,对于i的欧拉函数乘以(n/i)
时间: 2024-04-12 19:34:03 浏览: 20
您的问题是求解以下表达式的和:
\(\sum_{n=1}^{k}{\sum_{i=1}^{n}{\varphi(i) \cdot \left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor}}\)
其中 \(\varphi(i)\) 表示欧拉函数,\(\left\lfloor x \right\rfloor\) 表示向下取整函数。
让我们逐步来解决这个问题。
首先,我们可以展开内层的求和部分:
\(\sum_{i=1}^{n}{\varphi(i) \cdot \left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor}\)
根据欧拉函数的定义,当 \(i\) 为素数时,\(\varphi(i) = i-1\);当 \(i\) 不为素数时,\(\varphi(i)\) 是 \(i\) 的素因子之积再乘以 \(i\) 的各个素因子减一的倒数。所以我们可以根据这个性质对内层求和进行分类讨论。
当 \(i\) 为素数时,\(\varphi(i) = i-1\),那么有:
\(\sum_{i=1}^{n}{(i-1) \cdot \left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor}\)
当 \(i\) 不为素数时,我们可以将其分解为 \(i = p \cdot q\),其中 \(p\) 是 \(i\) 的最小素因子,\(q\) 是 \(i\) 除以最小素因子后的结果。所以有:
\(\varphi(i) = \varphi(p \cdot q) = \varphi(p) \cdot \varphi(q)\)
\(\sum_{i=1}^{n}{\varphi(i) \cdot \left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor} = \sum_{p=2}^{n}{\sum_{q=1}^{\left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor}{\varphi(p) \cdot \varphi(q) \cdot \left\lfloor \frac{n}{p \cdot q} \right\rfloor}}\)
现在我们可以使用以上公式来计算给定的表达式的和。
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