设 X0=0, 而 Xj+1(j0)是从[Xj, 1]均匀随机抽取的值, 令 Yk=2k (1-Xk)。证明：序列 Y0,Y1,…是一个鞅。

### 回答1：
要证明序列 Y0, Y1, ... 是一个鞅，需要证明它满足以下三个条件：

1. Y0, Y1, ... 是一个随机过程；
2. 对于所有的 n，Yn 的期望存在（有限）；
3. 对于所有的 n，有 E(Yn+1 | Y0, Y1, ..., Yn) = Yn。

首先，序列 Y0, Y1, ... 是一个随机过程，因为它是通过随机抽取得到的。

其次，我们需要证明对于所有的 n，Yn 的期望存在。由于 Yk=2k (1-Xk)，我们可以计算出 Yn 的期望：

E(Yn) = E(2n(1-Xn)) = 2nE(1-Xn)

由于 Xn 是从区间 [Xn-1,1] 均匀分布的随机变量，因此它的期望为：

E(Xn) = (Xn-1+1)/2 = (Yn-1/2)/2

因此，E(1-Xn) = 1 - E(Xn) = 1 - (Yn-1/2)/2 = (3/2 - Yn-1)/2

将其带入上式得：

E(Yn) = 2nE(1-Xn) = 2n(3/2 - Yn-1)/2 = 3n/2 - 2n-1Yn-1

由此可知，Yn 的期望存在且有限。

最后，我们需要证明对于所有的 n，有 E(Yn+1 | Y0, Y1, ..., Yn) = Yn。由于 Yn+1 的取值取决于 Xn+1，因此我们需要根据 Xn+1 的取值进行讨论：

当 Xn+1 < Yn+1/2 时，有 Yn+1 = 2n+1 Xn+1，因此：

E(Yn+1 | Y0, Y1, ..., Yn) = E(2n+1 Xn+1 | Y0, Y1, ..., Yn)
= (2n+1) E(Xn+1 | Y0, Y1, ..., Yn)
= (2n+1) (Yn/2 + Xn/2)
= Yn+1/2 + Yn/2

当 Xn+1 ≥ Yn+1/2 时，有 Yn+1 = 2n+1 (1 - Xn+1)，因此：

E(Yn+1 | Y0, Y1, ..., Yn) = E(2n+1 (1 - Xn+1) | Y0, Y1, ..., Yn)
= (2n+1) E(1 - Xn+1 | Y0, Y1, ..., Yn)
= (2n+1) (1 - Yn/2 - Xn/2)
= Yn+1/2 + Yn/2

因此，无论 Xn+1 的取值如何，都有 E(Yn+1 | Y0, Y1, ..., Yn) = Yn+1/2 + Yn/2 = Yn，证毕。

### 回答2：
要证明序列Y0,Y1,...是一个鞅，首先需要满足鞅的三个性质：1. 期望有界；2. 条件期望独立于过去的信息；3. 条件期望等于当前观测值。

首先证明第一个性质，即期望有界：对于任意的k≥0，由题意可知Xk是从[0,1]均匀随机抽取的值，因此0≤Xk≤1，所以0≤1-Xk≤1。而Yk=2k(1-Xk)。因为2k是一个常数，所以Yk=2k(1-Xk)也有界。

接下来证明第二个性质，即条件期望独立于过去的信息：对于任意的n≥m>k≥0，有

E(Yn | Ym, Yk) = E(2n(1-Xn) | 2m(1-Xm), 2k(1-Xk))

= E(2(n-m)(1-Xn) + 2m(1-Xn) | 2m(1-Xm), 2k(1-Xk))

= 2(n-m)E(1-Xn | 2m(1-Xm), 2k(1-Xk)) + 2mE(1-Xn | 2m(1-Xm), 2k(1-Xk))

= 2(n-m)(1-E(Xn | 2m(1-Xm), 2k(1-Xk))) + 2m(1-E(Xn | 2m(1-Xm), 2k(1-Xk)))

= 2(n-m)(1-E(Xn)) + 2m(1-E(Xn))

= 2(n-m)(1-0.5) + 2m(1-0.5)

= n-m+m

= n

可以看出，条件期望E(Yn | Ym, Yk)等于当前观测值Yn，与过去的观测值Ym和Yk无关，因此条件期望独立于过去的信息。

最后证明第三个性质，即条件期望等于当前观测值：对于任意的k≥0，

E(Yk+1 | Yk, Yk-1, ... , Y0) = E(2(k+1)(1-Xk+1) | 2k(1-Xk), 2k-1(1-Xk-1), ... , 2(1-X0))

= 2(k+1)E(1-Xk+1 | 2k(1-Xk), 2k-1(1-Xk-1), ... , 2(1-X0))

= 2(k+1)(1-E(Xk+1 | 2k(1-Xk), 2k-1(1-Xk-1), ... , 2(1-X0)))。

由题意知，Xk+1是从[0,1]均匀随机抽取的值，与Yk, Yk-1, ... , Y0无关，因此E(Xk+1 | 2k(1-Xk), 2k-1(1-Xk-1), ... , 2(1-X0))等于X的期望E(X)，且E(X)=0.5。所以，

E(Yk+1 | Yk, Yk-1, ... , Y0) = 2(k+1)(1-0.5) = k+1。

可以看出，条件期望E(Yk+1 | Yk, Yk-1, ... , Y0)等于当前观测值Yk+1。

综上所述，序列Y0,Y1,...满足鞅的三个性质，因此是一个鞅。

### 回答3：
首先我们来回顾一下鞅的定义。在概率论中，一个鞅序列是指一个随机过程，其中每一个随机变量都对未来的随机变量提供了关于现在获得的所有信息。

为了证明序列Y0, Y1, ...是一个鞅，我们需要证明以下三个条件：

1. Yn是一个可测随机变量：这意味着对于任意的n，Yn依赖于先前n个随机变量，即[ X0, X1, ..., Xn-1]。

2. E[|Yn|] < ∞：即Yn是有界的，其期望值是有限的。

3. 对于任意的n > m (n > m > 0)，有E[Yn | X0, X1, ..., Xm] = Ym：即给定先前的信息，未来的期望值是现在的值。

首先，我们来看Yn是一个可测随机变量。由于Yn=2n(1-Xn)，其中Xn是从[Xn,1]均匀随机抽取的值，是一个可测随机变量，所以Yn是一个可测随机变量。

接下来，我们来看Yn的期望值是否有界。由于Xn是从[Xn,1]均匀随机抽取的值，所以0 ≤ Xn ≤ 1。因此，0 ≤ 1-Xn ≤ 1，即0 ≤ Yn ≤ 2n。所以Yn是有界的，其期望值是有限的。

最后，我们来证明对于任意的n > m (n > m > 0)，有E[Yn | X0, X1, ..., Xm] = Ym。由于Xn是从[Xn,1]均匀随机抽取的值，所以对于任意的n > m (n > m > 0)，有E[Xn | X0, X1, ..., Xm] = Xm。因此，E[1-Xn | X0, X1, ..., Xm] = 1-Xm。综合得到，E[Yn | X0, X1, ..., Xm] = E[2n(1-Xn) | X0, X1, ..., Xm] = 2n(1-Xm) = Ym。

根据以上证明，我们可以得出结论：序列Y0, Y1, ...是一个鞅。