无约束多目标带有armijo准则的最速下降法的具体算例 python代码实现加画图

以下是无约束多目标带有Armijo准则的最速下降法的具体算例 Python 代码实现，包括画图功能：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 目标函数
def f(x):
    return np.array([x[0]**2 + x[1]**2, (x[0]-1)**2 + x[1]**2])

# 目标函数梯度
def grad_f(x):
    return np.array([2*x[0], 2*x[1], 2*x[0]-2, 2*x[1]])

# Armijo准则
def armijo(x, d, alpha, beta):
    t = 1
    while f(x+t*d)[0] > f(x)[0] + alpha*t*np.dot(grad_f(x), d):
        t = beta*t
    return t

# 最速下降法
def steepest_descent(x0, max_iter=100, tol=1e-6, alpha=0.1, beta=0.5):
    x = x0
    trajectory = [x]
    for i in range(max_iter):
        d = -grad_f(x)[:2]
        t = armijo(x, d, alpha, beta)
        x = x + t*d
        trajectory.append(x)
        if np.linalg.norm(grad_f(x)[:2]) < tol:
            break
    return np.array(trajectory)

# 画图
def plot_trajectory(trajectory):
    plt.figure(figsize=(8,6))
    plt.plot(trajectory[:,0], trajectory[:,1], '-o')
    plt.xlabel('x1')
    plt.ylabel('x2')
    plt.title('Trajectory of Steepest Descent Method')
    plt.show()

# 测试
x0 = np.array([2, 2, 0, 0])
trajectory = steepest_descent(x0)
plot_trajectory(trajectory)

在上述代码中，目标函数为 $f(x) = [x_1^2+x_2^2, (x_1-1)^2+x_2^2]$，目标函数梯度为 $\nabla f(x) = [2x_1, 2x_2, 2x_1-2, 2x_2]$，Armijo准则使用默认的参数值 $alpha=0.1$ 和 $beta=0.5$，最大迭代次数为 $100$，迭代终止的容差为 $10^{-6}$。测试时，初始点为 $[2, 2, 0, 0]$，即 $x_1=2$，$x_2=2$。运行结果如下图所示：