Rayleigh商求矩阵的所有特征值
时间: 2023-11-04 19:04:48 浏览: 39
Rayleigh商是一种常用的计算矩阵特征值的方法,可以通过迭代计算得到矩阵的所有特征值。其具体步骤如下:
1. 选择一个初始向量 $\mathbf{x}_0$,可以是任意向量。
2. 计算 Rayleigh 商:
$$
\lambda_0 = \frac{\mathbf{x}_0^T\mathbf{A}\mathbf{x}_0}{\mathbf{x}_0^T\mathbf{x}_0}
$$
其中,$\mathbf{A}$ 是待求特征值的矩阵,$\lambda_0$ 是当前估计的一个特征值。
3. 计算单位化向量:
$$
\mathbf{y}_0 = (\mathbf{A}-\lambda_0\mathbf{I})^{-1}\mathbf{x}_0
$$
其中,$\mathbf{I}$ 是单位矩阵。
4. 计算新的 Rayleigh 商:
$$
\lambda_1 = \frac{\mathbf{y}_0^T\mathbf{A}\mathbf{y}_0}{\mathbf{y}_0^T\mathbf{y}_0}
$$
5. 如果 $\lambda_1$ 与 $\lambda_0$ 的差小于某个阈值,即 $|\lambda_1-\lambda_0|<\epsilon$,则认为已经得到了所有特征值,并输出 $\lambda_1$;否则,将 $\lambda_1$ 当作新的估计特征值,返回第三步继续迭代。
通过 Rayleigh 商迭代计算,可以得到矩阵的所有特征值。需要注意的是,该方法并不是完全可靠的,特别是当矩阵存在多重特征值时,该方法可能无法收敛。此时,需要使用其他方法来计算特征值。
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