python实现快速模幂算法

快速模幂算法也称为快速幂算法，是一种用于计算大数的指数幂余数的算法。它的主要思想是将指数分解成二进制形式，并利用幂的平方性质以及模运算的余数性质来降低时间复杂度。

下面是 Python 实现快速模幂算法的代码：

def fast_modular_exponentiation(base, exp, mod):
    result = 1
    base = base % mod
    while exp > 0:
        if exp % 2 == 1:
            result = (result * base) % mod
        exp = exp // 2
        base = (base * base) % mod
    return result

该函数接受三个参数：底数 `base`、指数 `exp` 和模数 `mod`。它返回的是 `base` 的 `exp` 次幂对 `mod` 取模的结果。

该算法的时间复杂度为 $O(\log_2 n)$，其中 $n$ 是指数 `exp` 的位数。因此，它可以处理非常大的指数和模数，而且效率非常高。

相关问题

python代码实现快速模幂算法中（指数小于0）

快速模幂算法可以用于求解大数的幂运算，以及离散对数问题，其基本思想是将指数进行二进制分解，然后通过连续平方法来快速计算幂。

当指数为负数时，我们可以使用以下公式：

$a^{-b} = \dfrac{1}{a^b}$

因此，我们先将指数取绝对值，然后计算其倒数的幂即可。

下面是Python代码实现：

def fast_power_mod(base, exponent, modulus):
    """
    快速模幂算法（指数小于0）
    :param base: 基数
    :param exponent: 指数（负数）
    :param modulus: 模数
    :return: 结果
    """
    # 将指数取绝对值，计算其倒数的幂
    exponent = abs(exponent)
    result = pow(base, exponent, modulus)
    result = pow(result, -1, modulus)
    return result

其中，`pow(a, b, c)`函数表示计算$a^b$模$c$的值。

Python实现蒙哥马利模幂

蒙哥马利模幂是一种快速计算模幂运算的方法，它可以在处理大数时提高效率。在Python中，我们可以通过使用pow函数来实现蒙哥马利模幂。

具体实现步骤如下：
1. 首先将底数进行蒙哥马利变换，得到一个新的数值；
2. 将指数转换为二进制形式；
3. 从低位到高位遍历二进制数，每次将底数平方，并按照指数二进制位的对应位数进行操作；
4. 最后再将结果进行一次蒙哥马利还原即可。

下面是一个Python实现蒙哥马利模幂的示例代码：

def montgomery_pow(x, y, m):
    R = 2 ** 64 % m # 定义模数
    n = len(bin(y)) - 2 # 获取指数的二进制位数
    x = (x * R) % m # 蒙哥马利变换
    ans = (R % m) # 蒙哥马利还原
    for i in range(n):
        if y & 1:
            ans = (ans * x) % m
        x = (x * x) % m
        y >>= 1
    ans = (ans * R) % m # 蒙哥马利还原
    return ans