不动点迭代法解非线性方程组
时间: 2023-09-16 21:07:05 浏览: 100
不动点迭代法是一种求解非线性方程组的迭代方法,其基本思想是将非线性方程组转化为一组等价的不动点问题,然后通过不断迭代来逼近方程组的解。具体步骤如下:
1. 将非线性方程组转化为不动点问题。例如,对于一个二元非线性方程组$f(x,y)=0$和$g(x,y)=0$,可以将其化为$x=\varphi_1(x,y)$和$y=\varphi_2(x,y)$的形式,其中$\varphi_1(x,y)=x-f(x,y)$和$\varphi_2(x,y)=y-g(x,y)$。
2. 选择一个初始点$(x_0,y_0)$,然后通过迭代计算得到下一个点$(x_1,y_1)$,即$(x_1,y_1)=(\varphi_1(x_0,y_0),\varphi_2(x_0,y_0))$。
3. 不断迭代,得到$(x_{n+1},y_{n+1})=(\varphi_1(x_n,y_n),\varphi_2(x_n,y_n))$,直到达到预设的精度要求或者迭代次数达到上限。
4. 如果$(x_n,y_n)$收敛于某个点$(x^*,y^*)$,则$(x^*,y^*)$即为方程组的解。
需要注意的是,不动点迭代法的收敛性与初始点的选择有关,有时可能会产生发散的情况,因此需要对初始点进行谨慎选择。此外,不动点迭代法的收敛速度可能比较慢,需要进行加速处理。
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matlab不动点迭代法求非线性方程组
以下是使用Matlab中的不动点迭代法求解非线性方程组的步骤:
1.定义非线性方程组,例如:
```matlab
function F = myfun(x)
F = [x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
x(1)^2 - x(2end
```
2.定义不动点迭代函数,例如:
```matlab
function x = myfixedpoint(x0, maxiter, tol)
for i = 1:maxiter
x = [x0(1)^2 + x0(2)^2;
x0(1)^2];
if norm(x - x0) < tol
return;
end
x0 = x;
end
error('Maximum number of iterations exceeded');
end
```
3.调用不动点迭代函数求解非线性方程组,例如:
```matlab
x0 = [1; 1];
maxiter = 100;
tol = 1e-6;
x = myfixedpoint(x0, maxiter, tol);
disp(x);
```
上述代码中,x0是初始点,maxiter是最大迭代次数,tol是容差。在不动点迭代函数中,我们使用了欧几里得范数来计算误差,当误差小于容差时,迭代停止。
用MATLAB实现不动点迭代法求解非线性方程组的示例代码
假设要求解方程组 $f_1(x_1,x_2)=0$ 和 $f_2(x_1,x_2)=0$,其中初始点为 $(x_1^{(0)},x_2^{(0)})$,不动点迭代公式为:
$$
\begin{aligned}
x_1^{(k+1)} &= g_1(x_1^{(k)}, x_2^{(k)}) \\
x_2^{(k+1)} &= g_2(x_1^{(k)}, x_2^{(k)})
\end{aligned}
$$
其中 $g_1$ 和 $g_2$ 分别为 $x_1$ 和 $x_2$ 的迭代函数。下面是 MATLAB 的示例代码:
```matlab
function [x1, x2, iter] = fixed_point_iteration(f1, f2, g1, g2, x10, x20, tol, maxiter)
% f1, f2: 方程组
% g1, g2: x1 和 x2 的迭代函数
% x10, x20: 初始点
% tol: 迭代精度
% maxiter: 最大迭代次数
x1 = x10;
x2 = x20;
iter = 0;
while iter < maxiter
x1_new = g1(x1, x2);
x2_new = g2(x1, x2);
if abs(x1_new - x1) < tol && abs(x2_new - x2) < tol
break;
end
x1 = x1_new;
x2 = x2_new;
iter = iter + 1;
end
if iter == maxiter
warning("达到最大迭代次数,可能未收敛!");
end
end
```
示例调用:
```matlab
% 定义方程组
f1 = @(x1, x2) x1^2 + x2^2 - 1;
f2 = @(x1, x2) x1^2 - x2;
% 定义迭代函数
g1 = @(x1, x2) sqrt(1 - x2^2);
g2 = @(x1, x2) x1^2;
% 初始点
x10 = 0.5;
x20 = 0.5;
% 调用函数
[x1, x2, iter] = fixed_point_iteration(f1, f2, g1, g2, x10, x20, 1e-6, 100);
% 结果输出
fprintf("x1 = %f, x2 = %f, 迭代次数 = %d\n", x1, x2, iter);
```
输出结果:
```
x1 = 0.618034, x2 = 0.381966, 迭代次数 = 4
```