利用Python实现极大似然估计在产品合格率计算方面的应用

在产品合格率的计算中，极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一种统计学方法，用于确定最能解释观测数据的模型参数。假设我们有生产的产品样本，每个产品的状态可能是“合格”或“不合格”。我们可以利用Python中的概率统计库，如`scipy.stats`或`numpy`，来进行如下步骤：

1. **建立模型**：首先，选择一个合适的概率模型，比如二项分布（binomial distribution），它常用于描述成功次数的概率，这里的成功就是产品合格。

2. **收集数据**：收集实际的合格率数据，例如每批次生产的商品数量及其中合格的数量。

3. **设定参数**：对于二项分布，有两个参数：n（总产品数）和p（合格率）。极大似然估计就是要找到最有可能生成观察数据的p值。

4. **求解**：通过优化函数（如`scipy.optimize.maximize`）来找到p值，使得二项分布的似然函数达到最大。似然函数是所有可能观察到的数据组合下，给定参数p的最大可能性。

5. **评估**：得到的p值即为我们基于当前数据推断的合格率的极大似然估计。

import numpy as np
from scipy.optimize import maximize

# 假设数据
num_products = 1000
num_passing = 750

# 定义二项分布的似然函数
def log_likelihood(p):
    return np.log(binom.pmf(num_passing, num_products, p))

# 使用最大化算法寻找最大似然估计
result = maximize(log_likelihood, [0.5])  # 初始猜测合格率0.5
MLE_rate = result.x[0]

MLE_rate,