PCA累计能量百分比公式

PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的维度ality reduction（降维）方法，其目的是从原始数据中提取最重要的信息并转化为新的坐标系统。在PCA中，累计能量百分比（Cumulative Energy Percentage, 或Cumulative Variance Explained）是一个重要的概念，它用来衡量每个主成分解释了多少总方差。

公式是这样的：

对于第k个主成分，其累计能量百分比 (Cumulative Percentage of Variance, CPV) 可以通过以下计算得到：
\[ CPV_k = \frac{\sum_{i=1}^{k} \lambda_i}{\sum_{i=1}^{n} \lambda_i} \times 100\% \]

其中，\( \lambda_i \) 是第i个特征向量对应的特征值（即对应主成分的方差），n是原始特征的数量。特征值越大，说明该方向的信息含量越高。累计能量百分比逐次增加，直到所有的主成分加起来达到100%，表示所有主成分解释了原始数据总方差的全部。

相关问题

pca协方差矩阵计算公式

PCA（主成分分析）是一种常用的无监督数据降维技术，用于找出数据中最重要的特征方向，也即方差最大的方向。在PCA中，协方差矩阵是一个关键的概念，因为它提供了各变量间线性关系的信息。

协方差矩阵的计算公式是这样的：

对于一个n维随机变量向量X = [x1, x2, ..., xn]，其协方差矩阵Cov(X)是一个n x n的对称矩阵，其中(i, j)位置的元素是变量xi和xj的样本协方差，定义为：

Cov(X)_{ij} = E[(Xi - μ_i)(Xj - μ_j)]

其中：
- Xi 和 Xj 分别是向量X中的第i和第j个元素，
- μ_i 和 μ_j 是变量Xi和Xj的期望值（平均值），
- E[] 表示期望（平均）运算。

简单来说，每个Cov(X)_{ij}就是计算所有观测值(xi - μi)(xj - μj)的平均值，结果表示了两个变量变化方向上的关联程度，如果值为正，则说明变化方向相同；如果值为负，则说明变化方向相反。

PCA主成分分析计算公式

PCA主成分分析的计算公式如下：

1. 计算数据的协方差矩阵：
$$C = \frac{1}{n-1}(X-\bar{X})^T(X-\bar{X})$$
其中，$X$是原始数据矩阵，$\bar{X}$是数据的均值向量，$n$是样本数量。

2. 对协方差矩阵进行特征值分解：
$$C = V \Lambda V^T$$
其中，$V$是特征向量矩阵，$\Lambda$是对角矩阵，对角线上的元素是特征值。

3. 选择主成分：
根据特征值的大小，选择前$k$个最大的特征值对应的特征向量作为主成分，其中$k$是降维后的维数。

4. 降维：
将原始数据矩阵$X$与选取的主成分特征向量矩阵$V_k$相乘，得到降维后的数据矩阵$Y$：
$$Y = X V_k$$

5. 可选步骤：如果需要恢复原始数据，可以使用逆变换：
$$X_{\text{reconstructed}} = Y V_k^T$$