对||v||_2关于v求导

根据链式法则，对于函数f(x)，其中x是向量，我们有：

$$\frac{\partial f}{\partial v_i} = \sum_j \frac{\partial f}{\partial x_j} \frac{\partial x_j}{\partial v_i}$$

其中，$x_j$是f的第j个输入，$v_i$是向量v的第i个元素。对于向量的范数，我们有：

$$\frac{\partial ||v||_2}{\partial v_i} = \frac{\partial \sqrt{\sum_j v_j^2}}{\partial v_i} = \frac{1}{2\sqrt{\sum_j v_j^2}} \cdot 2v_i = \frac{v_i}{||v||_2}$$

因此，对于向量v，其范数的导数为：

$$\frac{\partial ||v||_2}{\partial v} = \frac{v}{||v||_2}$$

相关问题

\[\beta ||{Z^v} - Z||_F^2 + \gamma ||Z|{|_1}\]中对Z求导是什么

对于给定的优化问题，我们可以计算出关于变量Z的导数。首先，我们来求解 \(\beta ||{Z^v} - Z||_F^2\) 这一项对Z的导数。

根据矩阵范数的定义，\(\|A\|_F^2 = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}^2\)，其中A是一个m×n的矩阵。因此，我们可以将 \(\beta ||{Z^v} - Z||_F^2\) 展开为：

\(\beta \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} (z_{ij}^v - z_{ij})^2\)

对于每个元素 \(z_{ij}\)，我们可以通过链式法则求导，得到：

\(\frac{\partial}{\partial z_{ij}} (\beta ||{Z^v} - Z||_F^2) = 2\beta (z_{ij}^v - z_{ij})\)

接下来，我们来求解 \(\gamma \|Z\|_1\) 这一项对Z的导数。

根据L1范数的定义，\(\|A\|_1 = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|\)，其中A是一个m×n的矩阵。因此，我们可以将 \(\gamma \|Z\|_1\) 展开为：

\(\gamma \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} |z_{ij}|\)

对于每个元素 \(z_{ij}\)，我们可以将其分为正负两个部分进行讨论：

当 \(z_{ij} > 0\) 时，\(\frac{\partial}{\partial z_{ij}} (\gamma \|Z\|_1) = \gamma\)；
当 \(z_{ij} < 0\) 时，\(\frac{\partial}{\partial z_{ij}} (\gamma \|Z\|_1) = -\gamma\)；
当 \(z_{ij} = 0\) 时，\(\frac{\partial}{\partial z_{ij}} (\gamma \|Z\|_1)\) 是一个子梯度，可以取任意值在 \(-\gamma\) 和 \(\gamma\) 之间。

综上所述，对于整个目标函数 \(\beta ||{Z^v} - Z||_F^2 + \gamma \|Z\|_1\) 对Z的导数，我们可以将两部分的导数相加得到最终的结果：

\(\frac{\partial}{\partial z_{ij}} (\beta ||{Z^v} - Z||_F^2 + \gamma \|Z\|_1) = 2\beta (z_{ij}^v - z_{ij}) + \gamma \text{sign}(z_{ij})\)，

其中 \(\text{sign}(z_{ij})\) 是 \(z_{ij}\) 的符号函数。

\[||{W_v} \odot ({Z^v} - S)||_F^2\]中对\[{Z^v}\]求导是什么

要求解对 \({Z^v}\) 的导数，我们可以使用链式法则。首先，我们将公式展开为：

\[||{W_v} \odot ({Z^v} - S)||_F^2 = \sum_{i,j} w_{ij}^v(z_{ij}^v - s_{ij})^2\]

其中，\(w_{ij}^v\) 是矩阵 \({W_v}\) 的元素，\(z_{ij}^v\) 是矩阵 \({Z^v}\) 的元素，\(s_{ij}\) 是矩阵 \(S\) 的元素。

然后，我们对每个元素 \(z_{ij}^v\) 求导数：

\[\frac{\partial}{\partial z_{ij}^v} ||{W_v} \odot ({Z^v} - S)||_F^2 = 2w_{ij}^v(z_{ij}^v - s_{ij})\]

因此，对于矩阵 \({Z^v}\) 的每个元素 \(z_{ij}^v\)，求导数的结果是 \(2w_{ij}^v(z_{ij}^v - s_{ij})\)。