作业调度问题优先队列分支限界

### 使用优先队列实现分支限界法解决作业调度问题

#### 1. 背景介绍
批处理作业调度问题是经典的组合优化问题之一，目标是从多个可能的作业序列中找到使总完成时间最短的一个。当涉及多台机器时，该问题变得更加复杂。为了有效地求解此类问题，可以采用分支限界法并结合优先队列来加速搜索过程。

#### 2. 方法概述
通过构建一颗排列树表示所有可能的任务分配方式，并利用界限函数剪枝不必要的子节点探索路径。在此基础上引入优先队列管理待考察的状态节点，按照估计成本从小到大顺序选取下一个扩展结点，从而提高算法效率[^1]。

#### 3. 关键概念解释
- **状态空间树**：用于描述不同阶段下各个任务被安排的情况；
- **活结点列表 (EPL)** ：存储当前未完全展开但仍有可能成为最优解的部分解决方案集合；
- **上界计算方法**：基于已知条件预测剩余部分最低消耗的时间开销作为评价标准；

#### 4. 算法流程说明
初始化时将根节点加入到优先队列中，随后重复执行以下操作直到获得满意的结果：

- 取出队首元素即具有最小预计代价的活动节点；
- 如果此节点代表完整的可行解，则记录下来并与现有最好结果比较更新全局最优值；
- 否则对该节点进行进一步划分生成新的候选方案，并根据预估得分重新排序入队等待后续评估。

#### 5. Python代码示例
下面给出一段简单的Python伪代码展示如何应用上述思路解决问题:

import heapq

def branch_and_bound(n, processing_times):
    class Node:
        def __init__(self, level, path, cost, bound):
            self.level = level      # 当前层数/深度
            self.path = list(path)  # 已经决定的工作次序
            self.cost = cost        # 到达此处累积花费
            self.bound = bound      # 预测最终所需最少时间
            
        def __lt__(self, other):    
            return self.bound < other.bound
    
    min_cost = float('inf')
    best_solution = None
    
    start_node = Node(0, [], 0, calculate_bound([], n))
    live_nodes = []
    heapq.heappush(live_nodes, start_node)

    while len(live_nodes)>0:
        current = heapq.heappop(live_nodes)
        
        if current.level == n:  
            if current.cost < min_cost:
                min_cost = current.cost
                best_solution = current.path
                
        elif current.bound < min_cost:
            for i in range(len(processing_times)):
                if not visited[i]:
                    new_path = current.path + [i]
                    next_level = current.level + 1
                    
                    temp_visited = visited.copy()
                    temp_visited[i]=True
                    
                    accumulated_time = sum([processing_times[new_path[j]][j] for j in range(next_level)])
                    
                    estimated_remaining = estimate_lower_bound(new_path, remaining_jobs(temp_visited), n)
                    
                    child = Node(
                        next_level,
                        new_path,
                        accumulated_time,
                        accumulated_time + estimated_remaining
                    )
                    
                    heapq.heappush(live_nodes,child)
                    
    return best_solution, min_cost


def calculate_bound(partial_sequence, total_tasks):
    """ 计算给定部分序列下的边界 """
    pass 

def estimate_lower_bound(current_ordering, rest_of_jobs, num_machines):
    """ 对于剩下的工作估算其最早结束时刻"""
    pass

def remaining_jobs(is_selected):
    """ 获取尚未选择的任务索引列表"""
    pass