矩阵相乘最优计算次序和最少计算次数

矩阵相乘的最优计算次序问题可以使用动态规划算法来解决。

设矩阵序列为A1,A2,...,An，矩阵Ai的维数为pi-1 * pi，i=1,2,...,n

定义m[i][j]表示Ai到Aj的最优计算次序所需的最少计算次数，其中i<=j

则可以得到以下递归式：

当i=j时，m[i][j]=0

当i<j时，m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1 * pk * pj}，其中i<=k<j

最终的最少计算次数为m[1][n]

算法实现：

1. 初始化m[i][i]=0，i=1,2,...,n

2. 枚举区间长度k=2,3,...,n，计算m[i][i+k-1]，i=1,2,...,n-k+1

3. 返回m[1][n]即为最少计算次数

4. 为了记录最优计算次序，可以在递归计算m[i][j]时，记录达到最优解时的k值，然后根据k值将问题拆分成两个子问题，分别递归求解

时间复杂度为O(n^3)

相关问题

矩阵相乘最优计算次序和最少计算次数代码

以下是使用动态规划思想实现矩阵相乘最优计算次序和最少计算次数的Python代码：

def matrix_multiply_order(matrices):
    """
    计算矩阵相乘的最优顺序和最少计算次数
    :param matrices: 矩阵列表，每个矩阵用一个元组表示，元组中有两个元素，分别为矩阵的行数和列数
    :return: 最优顺序和最少计算次数
    """
    n = len(matrices)
    # 初始化dp数组
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    # 初始化路径数组
    path = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 0
    # 枚举矩阵链长度
    for l in range(2, n + 1):
        for i in range(n - l + 1):
            j = i + l - 1
            dp[i][j] = float('inf')
            # 枚举划分点
            for k in range(i, j):
                # 计算当前划分点下的计算次数
                count = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + matrices[i][0] * matrices[k][1] * matrices[j][1]
                if count < dp[i][j]:
                    dp[i][j] = count
                    path[i][j] = k
    # 根据路径数组构造最优顺序
    order = []
    def construct_order(i, j):
        if i == j:
            order.append(i)
        else:
            k = path[i][j]
            construct_order(i, k)
            construct_order(k + 1, j)
    construct_order(0, n - 1)
    return order, dp[0][n - 1]

其中，`matrices`参数为矩阵列表，每个矩阵用一个元组表示，元组中有两个元素，分别为矩阵的行数和列数。例如，`[(30, 35), (35, 15), (15, 5), (5, 10), (10, 20), (20, 25)]`表示有6个矩阵，第1个矩阵的行数为30，列数为35，第2个矩阵的行数为35，列数为15，以此类推。

函数返回一个元组，第一个元素为最优顺序，第二个元素为最少计算次数。例如，对于上述矩阵列表，函数返回的结果为`([0, 1, 2, 3, 4, 5], 15125)`，表示最优顺序为先计算第0个和第1个矩阵，然后计算第2个和第3个矩阵，最后计算第4个和第5个矩阵，总共需要计算15125次。

矩阵相乘最优计算次序和最少计算次数代码c++代码

以下是矩阵相乘的最优计算次序和最少计算次数的代码实现，使用动态规划算法：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define INF 0x3f3f3f3f

void matrix_chain_order(int p[], int n, int m[][n+1], int s[][n+1])
{
    int i, j, k, q;
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        m[i][i] = 0;
    }
    for (k = 2; k <= n; k++) {
        for (i = 1; i <= n-k+1; i++) {
            j = i + k - 1;
            m[i][j] = INF;
            for (q = i; q <= j-1; q++) {
                int temp = m[i][q] + m[q+1][j] + p[i-1]*p[q]*p[j];
                if (temp < m[i][j]) {
                    m[i][j] = temp;
                    s[i][j] = q;
                }
            }
        }
    }
}

void print_optimal_parens(int s[][6], int i, int j)
{
    if (i == j) {
        printf("A%d", i);
    } else {
        printf("(");
        print_optimal_parens(s, i, s[i][j]);
        print_optimal_parens(s, s[i][j]+1, j);
        printf(")");
    }
}

int main()
{
    int p[] = {30, 35, 15, 5, 10, 20, 25};
    int n = sizeof(p) / sizeof(p[0]) - 1;
    int m[n+1][n+1], s[n+1][n+1];

    matrix_chain_order(p, n, m, s);

    printf("最少计算次数：%d\n", m[1][n]);
    printf("最优计算次序：");
    print_optimal_parens(s, 1, n);
    printf("\n");

    return 0;
}

其中，`p`数组表示矩阵的维度，`n`表示矩阵的个数。

结果输出最少计算次数和最优计算次序。