若f(x)以2π为周期,且在[一ππ]逐段可微证明:f(x)的傅里叶级数在f(x)的连续点收敛到f(x),在f(x)的不连续点(第一类间断或可去间断)收敛到f(x+0)+/(x-0)
时间: 2024-05-21 08:16:18 浏览: 16
这是一个挺有难度的数学问题。首先,我们需要明确傅里叶级数的收敛性质。对于周期为2π的函数f(x),其傅里叶级数为:
f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx))
其中,a0、an、bn为常数,n为正整数。根据傅里叶级数的收敛定理,当函数f(x)在[一ππ]内逐段可微时,其傅里叶级数在f(x)的连续点收敛到f(x),即傅里叶级数的和等于函数f(x)在该点的函数值。而在f(x)的不连续点(第一类间断点或可去间断点),傅里叶级数收敛到该点的左右极限的平均值。
具体来说,在f(x)的不连续点x0处,我们可以分别计算其左右极限:
f(x0-)=lim(x→x0-)f(x),f(x0+)=lim(x→x0+)f(x)
然后,我们可以定义函数g(x)为:
g(x) = { f(x),x≠x0;f(x0),x=x0 }
即在x=x0处将函数f(x)修改为f(x0),这是为了使得g(x)在x=x0处连续。然后,我们可以计算函数g(x)的傅里叶级数,并将其在x=x0处的值设为f(x0):
g(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx)),x≠x0;
g(x0) = f(x0)
这样,我们就得到了在x=x0处的傅里叶级数。需要注意的是,这种收敛方式只适用于第一类间断点和可去间断点,对于第二类间断点,傅里叶级数是不收敛的。
综上所述,当函数f(x)在[一ππ]内逐段可微时,其傅里叶级数在f(x)的连续点收敛到f(x),在f(x)的不连续点(第一类间断或可去间断)收敛到f(x0)/(x-x0)。
相关问题
计算f(x,y)=sin(2πux+2πvy)的二维傅里叶变换结果
设f(x,y)的二维傅里叶变换为F(u,v),则有:
F(u,v) = ∬f(x,y)exp(-i2π(ux+vy))dxdy
代入f(x,y)=sin(2πux 2πvy)有:
F(u,v) = ∬sin(2πux 2πvy)exp(-i2π(ux+vy))dxdy
根据双角公式,上式可化为:
F(u,v) = 1/2i∬[exp(i2πu(x-y))-exp(i2πu(x+y))]exp(-i2πvy)dxdy
对于第一项,利用一维傅里叶变换的性质可知:
∫exp(i2πux)dx = δ(u)
其中δ(u)为狄拉克δ函数,因此第一项可化为:
1/2i∬δ(u-(v-y))exp(-i2πvy)dxdy = 1/2iexp(-i2πuv)
对于第二项,同样利用一维傅里叶变换的性质可知:
∫exp(i2πu(x+y))dx = δ(u-v)
因此第二项可化为:
1/2i∬δ(u-(v+y))exp(-i2πvy)dxdy = 1/2iexp(-i2πuv)
综上所述,F(u,v) = 1/2i[exp(-i2πuv) + exp(-i2πuv)] = cos(2πuv)。因此,f(x,y)=sin(2πux 2πvy)的二维傅里叶变换结果为cos(2πuv)。
计算f(x,y)=(sin(πax)sin(πay)) / π^2xy 的二维傅里叶变换结果
根据定义,二维傅里叶变换为:
F(u,v) = ∬ f(x,y) e^(-i2π(ux+vy)) dx dy
将给定的函数f(x,y)代入,得到:
F(u,v) = ∬ (sin(πax)sin(πay)) / π^2xy e^(-i2π(ux+vy)) dx dy
考虑将f(x,y)分解为两个函数的乘积:
f(x,y) = sin(πax)sin(πay) / π^2xy
= (sin(πax) / πax) (sin(πay) / πay)
其中,第一个函数g(x) = sin(πax) / πax 的一维傅里叶变换为:
G(u) = ∫ g(x) e^(-i2πux) dx
= ∫ (sin(πax) / πax) e^(-i2πux) dx
根据一维傅里叶变换的定义,有:
G(u) = F{sin(πax) / πax}(u)
其中,F表示一维傅里叶变换,{ }内为变换的函数。
根据一维傅里叶变换的公式,有:
F{sin(πax) / πax}(u) = i/2 [sign(u-a) - sign(u+a)]
其中,sign表示符号函数。
同样地,第二个函数h(y) = sin(πay) / πay 的一维傅里叶变换为:
H(v) = F{sin(πay) / πay}(v) = i/2 [sign(v-a) - sign(v+a)]
因此,原函数的二维傅里叶变换为:
F(u,v) = G(u) H(v)
= i/4 [sign(u-a) - sign(u+a)] [sign(v-a) - sign(v+a)]
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