x ( n )= Cos (2π mn / N ),0< m < N 的 N 点离散傅立叶变换为

X ( k )= Σn=0 N-1 x ( n ) e^(-j2πkn/N), 0≤ k ≤ N-1

其中，j为虚数单位，e为自然对数的底数。

根据题目给出的x ( n )，代入公式得到：

X ( k )= Σn=0 N-1 Cos (2π mn / N) e^(-j2πkn/N), 0≤ k ≤ N-1

由于Cos (2π mn / N)是实数，可以将其拆分成e的实部和虚部：

Cos (2π mn / N) = Re[e^(j2πmn/N)] = 1/2 (e^(j2πmn/N) + e^(-j2πmn/N))

代入公式得到：

X ( k )= Σn=0 N-1 1/2 (e^(j2πmn/N) + e^(-j2πmn/N)) e^(-j2πkn/N), 0≤ k ≤ N-1

将e^(-j2πkn/N)提到和式外面，得到：

X ( k )= 1/2 Σn=0 N-1 e^(j2πm-k)n/N + 1/2 Σn=0 N-1 e^(-j2πm+k)n/N, 0≤ k ≤ N-1

其中，第一个和式是一个等比数列求和，公比为e^(j2π(m-k)/N)，第二个和式也是一个等比数列求和，公比为e^(-j2π(m+k)/N)。

利用等比数列求和公式，得到：

X ( k )= 1/2 [(1-e^(j2π(m-k)N))/(1-e^(j2π(m-k)/N))] + 1/2 [(1-e^(-j2π(m+k)N))/(1-e^(-j2π(m+k)/N))], 0≤ k ≤ N-1

这就是x ( n )的N点离散傅立叶变换。

相关问题

f（x）=ax-sinx/cos^3x （0＜x＜π/2） f（x）＜sin2x 求a的取值范围

同样先将不等式两边的 sin2x 化成 cos x 和 sin x 的形式：sin2x = 2sinxcosx。

然后，将 f(x) 带入不等式中，得到：

ax - sinx/cos^3x < 2sinxcosx

移项并化简：

axcos^3x - sinx < 2cos^4xsinx

axcos^3x + 2cos^4xsinx - sinx < 0

将 cos^3x 和 sinx 提取出来，得到：

cos^3x(ax + 2cosx) - sinx(1) < 0

因为 -1 ≤ sinx ≤ 1，所以 1 可以被忽略。同时，cos^3x > 0，所以可以将不等式两边都除以 cos^3x，得到：

ax + 2cosx - tanx < 0

其中 tanx = sinx/cosx。

接下来，我们需要讨论 cosx 的正负性：

当 cosx > 0 时，不等式变为：

ax + 2cosx - tanx < 0

当 cosx < 0 时，不等式变为：

ax - 2cosx - tanx < 0

综合以上两种情况，可以得到：

-ax - 2|cosx| - |tanx| < 0

将 |tanx| 拆成 sinx/cosx 和 -sinx/cosx 两个部分，得到：

-ax - 2|cosx| - sinx/cosx + sinx/cosx < 0

-ax - 2|cosx| + 2sinx/cosx < 0

因为 -1 ≤ sinx ≤ 1，所以 -2|cosx| < -2，即 |cosx| > 1。

综合以上条件，可以得到 a 的取值范围为：

a < -2/|cosx| - 2cosx/sin^2x （其中 |cosx| > 1）。

由于 0 < x < π/2，所以 cosx > 0，因此不需要考虑 cosx < 0 的情况。

继续化简不等式，得到：

a < 2cosx/sin^2x - 2/cosx

因为 0 < x < π/2，所以 sinx > 0，cosx > 0，可以进一步化简：

a < 2tanx - 2secx

将 tanx 和 secx 用 sinx 和 cosx 表示，得到：

a < 2sinx/cosx - 2cosx/sinx

将分数形式的式子化简，得到：

a < 2sin^2x/cosxsinx - 2cos^2x/cosxsinx

a < 2(tanx - cosx)/sinx

因为 0 < x < π/2，所以 tanx > cosx，因此：

a < 2(tanx - cosx)/sinx < 2tanx/sinx = 2secx

因此，a 的取值范围为：

a < 2secx

其中 secx = 1/cosx，在 0 < x < π/2 的范围内，cosx 的取值范围为 (0,1]，因此：

a < 2

综上所述，a 的取值范围为：

a < 2

希望能对你有所帮助！

给函数增加限定条件x*sin(2*π/5)+y*cos(2*π/5)<=(cot(π/5))(x*cos(2*π/5)-y*sin(2*π/5))

好的，我已经根据您的要求修改了代码，添加了对函数图像的限定条件。以下是修改后的代码：

% 定义圆环的外圆半径和内圆半径
outer_radius = 42.5;
inner_radius = 14;
center = [0, 0]; % 中心点坐标

% 定义角度范围
t = linspace(0, 2*pi, 1000);  % 在0到2π之间生成1000个等间距的角度

% 计算外圆和内圆上的点坐标
outer_circle_x = center(1) + outer_radius * cos(t);
outer_circle_y = center(2) + outer_radius * sin(t);
inner_circle_x = center(1) + inner_radius * cos(t);
inner_circle_y = center(2) + inner_radius * sin(t);

figure;
hold on;
plot(outer_circle_x, outer_circle_y, 'b'); % 外圆
plot(inner_circle_x, inner_circle_y, 'b'); % 内圆
axis equal; % 设置坐标轴比例一致
title('Circle Ring');
legend('Outer Circle', 'Inner Circle');

% 函数和限定条件
x = linspace(-36, 36, 1000);  % 定义 x 的取值范围
y = linspace(-36, min(-14, 36), 1000);  % 定义 y 的取值范围

[X, Y] = meshgrid(x, y);  % 创建坐标矩阵

Z = (Y.^2 / 14^2) - (X.^2 / (14*tan(pi/5))^2);  % 计算函数值

% 增加限定条件
condition = x.*sin(2*pi/5) + y.*cos(2*pi/5) <= (cot(pi/5))*(x.*cos(2*pi/5) - y.*sin(2*pi/5));
Z(~condition) = NaN;

contour(X, Y, Z, [1, 1]);  % 绘制等值线图

theta = pi/2; % 第一条射线与水平方向的夹角
d_theta = 2*pi/5; % 每两条射线之间的夹角
% 计算交点并画出连线
for i = 1:5
    x1 = center(1) + outer_radius * cos(theta);
    y1 = center(2) + outer_radius * sin(theta);
    x2 = center(1) + inner_radius * cos(theta);
    y2 = center(2) + inner_radius * sin(theta);
    
    plot([x1, x2], [y1, y2], 'r--'); % 画出连线
    
    theta = theta + d_theta; % 更新角度
end

hold off;

在这个示例中，我们根据限定条件对函数图像进行了修改。首先，计算了限定条件 `x*sin(2*π/5)+y*cos(2*π/5)<=(cot(π/5))(x*cos(2*π/5)-y*sin(2*π/5))` 的真值矩阵 `condition`。然后，使用 `~condition` 将不满足条件的部分的 `Z` 值设为 `NaN`。这样，在绘制等值线图时，不满足条件的部分将被忽略。

希望这次的修改符合您的要求！