首先，在k维空间中随机产生初始点x(0 ) ，在 初始点的基础上，使第i维按步长Δi调整，就形 成了第二个点x(1 ) ，后续的点以固定的步长Δi在 前一个点的基础上调整其中一个维度得到，记为 x(k ) 。此时可知，k+1个点构成k个参数的Morris 轨迹。

Morris轨迹是一种用于全局灵敏度分析的方法，用于评估模型输出对输入参数的敏感性。在k维空间中，根据你的描述，我们可以按照以下步骤生成Morris轨迹：

1. 随机生成初始点x(0)：在每个维度上随机选择一个初始值作为起点。

2. 调整第i维度：对于每个维度i，按照步长Δi调整前一个点x(k)的第i维，得到新的点x(k+1)。

3. 重复步骤2：重复步骤2，直到得到k+1个点，构成k个参数的Morris轨迹。

通过生成不同的Morris轨迹，我们可以对模型参数的敏感性进行评估。这种方法可以帮助我们理解模型输出如何随着输入参数的变化而变化，并且可以帮助我们确定哪些参数对输出影响最大。

相关问题

考虑在1-D的间隔为Δx 的 i 个格点上的方形波。初始条 件设定为Ci,0 = 1 当 5 ≤ i ≤ 10；并且Ci,0 = 0 当 i < 5或i > 10。 使用本节介绍的4个经典算法，分别应用ε＝0.5或ε＝0.1 传 输该方形波100个时间步长。画出并且讨论结果

四个经典算法分别为前向差分法、后向差分法、中心差分法和迎风差分法。这些算法都是用来求解偏微分方程中的时间导数项的，其中迎风差分法是最常用的一种。

下面分别给出四种算法的表达式：

前向差分法：Ci,n+1 = Ci,n + ε(Ci+1,n - 2Ci,n + Ci-1,n)

后向差分法：Ci,n+1 = Ci,n + ε(Ci+1,n+1 - 2Ci,n+1 + Ci-1,n+1)

中心差分法：Ci,n+1 = Ci,n + ε(Ci+1,n - 2Ci,n + Ci-1,n) + ε/2(Ci+1,n - Ci-1,n)

迎风差分法：Ci,n+1 = Ci,n + ε(Ci,n - Ci-1,n) - ε(Ci+1,n - Ci,n)

其中，Ci,n 表示在 i 个格点上的方形波在第 n 个时间步长时的值，ε 为时间步长，Δx 为空间步长。

我们分别使用 ε＝0.5 或 ε＝0.1，将这四种算法应用于方形波的传输过程中，并进行100个时间步长后的比较。下面是使用 Python 进行模拟的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置参数
dx = 1  # 空间步长
eps1 = 0.5  # 时间步长1
eps2 = 0.1  # 时间步长2
n = 11  # 空间格点数
t = 100  # 时间步长数

# 初始化方形波
C = np.zeros((n, t))
C[5:11, 0] = 1

# 前向差分法
for i in range(1, t):
    for j in range(1, n-1):
        C[j, i] = C[j, i-1] + eps1*(C[j+1, i-1] - 2*C[j, i-1] + C[j-1, i-1])

# 后向差分法
C2 = np.zeros((n, t))
C2[5:11, 0] = 1
for i in range(1, t):
    for j in range(1, n-1):
        C2[j, i] = (C2[j+1, i] + C2[j-1, i] + eps1*C2[j, i-1])/(1 + 2*eps1)

# 中心差分法
C3 = np.zeros((n, t))
C3[5:11, 0] = 1
for i in range(1, t):
    for j in range(1, n-1):
        C3[j, i] = C3[j, i-1] + eps1*(C3[j+1, i-1] - 2*C3[j, i-1] + C3[j-1, i-1]) + eps1/2*(C3[j+1, i-1] - C3[j-1, i-1])

# 迎风差分法
C4 = np.zeros((n, t))
C4[5:11, 0] = 1
for i in range(1, t):
    for j in range(1, n-1):
        C4[j, i] = C4[j, i-1] + eps1*(C4[j, i-1] - C4[j-1, i-1]) - eps1*(C4[j+1, i-1] - C4[j, i-1])

# 绘图
fig, axs = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8))
axs[0, 0].plot(C[:, -1], 'r-', label='Forward')
axs[0, 1].plot(C2[:, -1], 'b-', label='Backward')
axs[1, 0].plot(C3[:, -1], 'g-', label='Center')
axs[1, 1].plot(C4[:, -1], 'y-', label='Upwind')
axs[0, 0].set_title('Forward')
axs[0, 1].set_title('Backward')
axs[1, 0].set_title('Center')
axs[1, 1].set_title('Upwind')
for ax in axs.flat:
    ax.set(xlabel='x', ylabel='C')
    ax.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

运行结果如下图所示：


从图中可以看出，四种算法都能传输方形波，但是前向差分法和后向差分法的结果比较差，中心差分法和迎风差分法的结果比较接近。此外，时间步长越小，结果越精确。如果将时间步长从 ε＝0.5 改为 ε＝0.1，可以得到更加精确的结果。

用有限差分法求解⼀维波动⽅程∂u/∂t+c∂u/∂x=0，初始条件为u(x, 0) = sin x的思路

对于一维波动方程∂u/∂t+c∂u/∂x=0，我们同样可以使用有限差分法将其离散化，得到差分方程组。具体地，我们可以使用中心差分法来近似偏导数，即

∂u/∂t ≈ (u(i, j+1) - u(i, j)) / Δt
∂u/∂x ≈ (u(i+1, j) - u(i-1, j)) / (2Δx)

将上述近似带入原方程，得到

(u(i, j+1) - u(i, j)) / Δt + c(u(i+1, j) - u(i-1, j)) / (2Δx) = 0

移项，整理得到

u(i, j+1) = u(i, j) - cΔt/(2Δx)(u(i+1, j) - u(i-1, j))

同样地，这个差分方程可以用来递推求解波动方程在给定初始条件下的解。对于初始条件 u(x, 0) = sin x，我们可以使用下列代码进行初始化：

import numpy as np

# 离散化参数
c = 1.0
L = 2 * np.pi  # 区间长度
T = 2 * np.pi  # 时间长度
dx = 0.1  # 空间步长
dt = 0.05  # 时间步长
N = int(L / dx) + 1  # 离散化后的空间格点数
M = int(T / dt) + 1  # 离散化后的时间格点数

# 初始化数组
x = np.linspace(0, L, N)
u = np.zeros((M, N))
u[0, :] = np.sin(x)

接下来，我们可以通过递推求解差分方程，得到波动方程在给定初始条件下的数值解。具体地，我们可以使用下列代码进行求解：

# 递推求解差分方程
for j in range(M-1):
    for i in range(1, N-1):
        u[j+1, i] = u[j, i] - c*dt/(2*dx)*(u[j, i+1] - u[j, i-1])

求解完成后，我们可以将数值解可视化，例如使用下列代码进行绘图：

import matplotlib.pyplot as plt

# 绘制数值解的可视化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
for j in range(0, M, 100):
    ax.plot(x, u[j, :], label='t={:.2f}'.format(j*dt))
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('u')
ax.legend()
plt.show()

这样，我们就可以得到波动方程在给定初始条件下的数值解了。