11】实现高斯消去法 列主元高斯消去法求方程组A = [12 -3 3; -18 3 -1; 1 1 1]; b = [15; -15; 6]; 建议用matlab语言编程实现运行后查看运行结果能在应用中正确执行

在MATLAB中，列主元高斯消元法是一种用于求解线性方程组的标准算法。对于给定的方程组 `A * X = B`，其中 `A` 是系数矩阵，`X` 是未知数向量，`B` 是常数项向量，我们可以按照以下步骤来实现：

% 定义系数矩阵和常数项向量
A = [12 -3 3; -18 3 -1; 1 1 1]; % 系数矩阵
b = [15; -15; 6]; % 常数项向量

% 首先，使用全排列矩阵P对A进行初等行变换，以达到列主元化的目的
[n, m] = size(A); % 获取矩阵大小
P = permutation(eye(m)); % 创建一个m阶单位阵的全排列，用于行交换
A_permuted = A*P; % 应用P到A，得到初步列主元化后的矩阵

% 然后，执行列主元高斯消元过程
for k = 1:n-1
    % 找到第k列的非零最大元素索引
    max_idx = find(abs(A_permuted(k:end,k)) > eps);
    
    % 无非零元素则退出循环
    if isempty(max_idx)
        break;
    end
    
    % 交换行
    row_to_swap = k + max_idx(1);
    A_permuted([k row_to_swap], :) = A_permuted([row_to_swap k], :);
    
    % 将当前列除以最大元素，进行消元
    scaling_factor = A_permuted(row_to_swap, k);
    A_permuted(row_to_swap, :) = A_permuted(row_to_swap, :) / scaling_factor;
    A_permuted(k:end, :) = A_permuted(k:end, :) - A_permuted(row_to_swap, :) .* A_permuted(k:end, k);
    
    % 更新右端常数项向量b
    b = b - A_permuted(row_to_swap, :) * b(k);
end

% 转换回原顺序的矩阵
A_column_pivot = A_permuted*inv(P);

% 求解最终的方程组
X = A_column_pivot \ b;

% 输出结果
disp('解向量 X:');
disp(X);

% 验证是否满足原方程
disp('验证方程是否成立:')
disp(all(round(A*X) == round(b)));