验证jacobi迭代法是否收敛的代码

Jacobi迭代法的收敛性很大程度上取决于系数矩阵的特征值分布。如果系数矩阵的特征值都在单位圆内，那么Jacobi迭代法是收敛的。

下面是验证Jacobi迭代法是否收敛的Python代码：

import numpy as np

def jacobi(A, b, x0, tol=1e-10, max_iter=1000):
    n = len(A)
    x = x0.copy()
    for i in range(max_iter):
        x_new = np.zeros(n)
        for j in range(n):
            x_new[j] = (b[j] - np.dot(A[j], x) + A[j,j]*x[j]) / A[j,j]
        if np.linalg.norm(x_new - x) < tol:
            return x_new
        x = x_new
    raise ValueError("Jacobi method did not converge")

def is_convergent(A):
    D = np.diag(np.abs(A.diagonal())) # diagonal matrix of A
    L = np.tril(A, k=-1) # lower triangular part of A
    U = np.triu(A, k=1) # upper triangular part of A
    M = np.linalg.inv(D) @ (L + U) # Jacobi iteration matrix
    eigvals = np.linalg.eigvals(M)
    if np.all(np.abs(eigvals) < 1):
        print("Jacobi method is convergent")
        return True
    else:
        print("Jacobi method is not convergent")
        return False

# test the functions on a random matrix
A = np.random.randn(5,5)
A = A @ A.T # make A symmetric positive definite
b = np.random.randn(5)
x0 = np.zeros(5)
is_convergent(A)

这段代码实现了一个Jacobi迭代法求解线性方程组的函数`jacobi`，以及一个判断Jacobi迭代法是否收敛的函数`is_convergent`。在`is_convergent`函数中，我们首先将系数矩阵A分解为对角矩阵D和非对角矩阵L+U的和，然后计算Jacobi迭代法的迭代矩阵M=D^-1(L+U)，最后判断M的所有特征值的绝对值是否都小于1即可。如果都小于1，则Jacobi迭代法是收敛的。