有f(x)=[2,3,4,5],求其离散傅里叶变换结果。(x为0,1,2,3)。
时间: 2023-10-10 09:06:16 浏览: 37
离散傅里叶变换(DFT)的公式为:
$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\cdot e^{-i2\pi kn/N}$
其中,$x_0,x_1,\cdots,x_{N-1}$ 为原始序列,$X_0,X_1,\cdots,X_{N-1}$ 为变换后的序列,$k=0,1,\cdots,N-1$。
对于给定的 $f(x)=[2,3,4,5]$,其长度 $N=4$,则有:
$X_0=\sum_{n=0}^{3}x_n\cdot e^{-i2\pi 0n/4}=2+3+4+5=14$
$X_1=\sum_{n=0}^{3}x_n\cdot e^{-i2\pi 1n/4}=2-3i-4+5i=3-i$
$X_2=\sum_{n=0}^{3}x_n\cdot e^{-i2\pi 2n/4}=2-5+4-3=-2$
$X_3=\sum_{n=0}^{3}x_n\cdot e^{-i2\pi 3n/4}=2+3i-4-5i=-4-2i$
因此,$f(x)$ 的离散傅里叶变换结果为 $X=[14,3-i,-2,-4-2i]$。
相关问题
有f(x)=[2,3,4,5],求其离散傅里叶变换结果。(x为0,1,2,3)
根据离散傅里叶变换的定义,对于长度为N的序列f(x),其离散傅里叶变换结果F(k)为:
F(k) = sum(f(x) * exp(-2*pi*i*k*x/N)), x=0,1,...,N-1
其中,i为虚数单位,exp为自然常数e的指数函数,sum表示对x从0到N-1的求和。
对于本题中的序列f(x)=[2,3,4,5],其长度为N=4。因此,根据上述公式,我们可以计算出其离散傅里叶变换结果F(k),k=0,1,2,3,分别为:
F(0) = 2 + 3 + 4 + 5 = 14
F(1) = 2 + 3*exp(-2*pi*i/4) + 4*exp(-2*pi*i*2/4) + 5*exp(-2*pi*i*3/4) ≈ -2 + 2.414i
F(2) = 2 + 3*exp(-2*pi*i*2/4) + 4*exp(-2*pi*i*4/4) + 5*exp(-2*pi*i*6/4) = 4
F(3) = 2 + 3*exp(-2*pi*i*3/4) + 4*exp(-2*pi*i*6/4) + 5*exp(-2*pi*i*9/4) ≈ -2 - 2.414i
因此,离散傅里叶变换结果为F(k)=[14, -2 + 2.414i, 4, -2 - 2.414i]。
求一个尺寸为2*2的矩阵函数f(x,y)的离散傅里叶变换
好的,函数f(x,y)在尺寸为2x2的矩阵上可以表示为:
```
f(x,y) = [ f(0,0) f(0,1) ]
[ f(1,0) f(1,1) ]
```
其离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)可以表示为:
```
F(u,v) = ∑∑ f(x,y) * e^(-2πi(ux+vy)/N)
x=0 y=0
```
其中,N表示矩阵的尺寸,u和v为频率变量,e为自然对数的底数。将上式带入矩阵f(x,y)的值,得到:
```
F(u,v) = f(0,0)*e^(-2πiu*0/N)*e^(-2πiv*0/N) + f(0,1)*e^(-2πiu*0/N)*e^(-2πiv*1/N) + f(1,0)*e^(-2πiu*1/N)*e^(-2πiv*0/N) + f(1,1)*e^(-2πiu*1/N)*e^(-2πiv*1/N)
```
化简上式,得到:
```
F(u,v) = f(0,0) + f(0,1)*e^(-2πiv/N) + f(1,0)*e^(-2πiu/N) + f(1,1)*e^(-2πiu/N)*e^(-2πiv/N)
```
这就是函数f(x,y)的离散傅里叶变换。