求直线与面是否相交，使用C++

判断直线与面是否相交，可以使用向量叉积的方法。

假设直线的参数方程为 $\vec{r} = \vec{a} + t\vec{b}$，平面的一般式方程为 $Ax + By + Cz + D = 0$。则直线与平面相交，等价于直线上的任意一点 $\vec{r}$ 满足平面方程，即 $A(\vec{a} + t\vec{b})_x + B(\vec{a} + t\vec{b})_y + C(\vec{a} + t\vec{b})_z + D = 0$。

化简得：$(A\vec{b}_x + B\vec{b}_y + C\vec{b}_z)t + (A\vec{a}_x + B\vec{a}_y + C\vec{a}_z + D) = 0$。

因此，只需要判断 $(A\vec{b}_x + B\vec{b}_y + C\vec{b}_z)$ 和 $(A\vec{a}_x + B\vec{a}_y + C\vec{a}_z + D)$ 是否异号即可。

具体实现代码如下：

struct Vector3D {
    double x, y, z;

    Vector3D operator+(const Vector3D& rhs) const {
        return {x + rhs.x, y + rhs.y, z + rhs.z};
    }

    Vector3D operator-(const Vector3D& rhs) const {
        return {x - rhs.x, y - rhs.y, z - rhs.z};
    }

    Vector3D operator*(const double& t) const {
        return {x * t, y * t, z * t};
    }

    // 向量叉积
    Vector3D cross(const Vector3D& rhs) const {
        return {y * rhs.z - z * rhs.y, z * rhs.x - x * rhs.z, x * rhs.y - y * rhs.x};
    }

    // 向量点积
    double dot(const Vector3D& rhs) const {
        return x * rhs.x + y * rhs.y + z * rhs.z;
    }

    // 向量模长
    double length() const {
        return std::sqrt(x * x + y * y + z * z);
    }

    // 向量单位化
    Vector3D normalized() const {
        double len = length();
        return {x / len, y / len, z / len};
    }
};

struct Line {
    Vector3D a, b;

    Vector3D point(double t) const {
        return a + b * t;
    }
};

struct Plane {
    double A, B, C, D;

    // 点到平面的距离
    double distance(const Vector3D& p) const {
        return std::abs(A * p.x + B * p.y + C * p.z + D) / std::sqrt(A * A + B * B + C * C);
    }
};

bool is_intersected(const Line& line, const Plane& plane) {
    double t = -1 * (plane.A * line.a.x + plane.B * line.a.y + plane.C * line.a.z + plane.D)
               / (plane.A * line.b.x + plane.B * line.b.y + plane.C * line.b.z);
    Vector3D point_on_line = line.point(t);
    return (plane.A * line.b.x + plane.B * line.b.y + plane.C * line.b.z) * t
           + (plane.A * line.a.x + plane.B * line.a.y + plane.C * line.a.z + plane.D) < 0;
}

其中，`Vector3D` 表示三维向量，包括向量加减、向量数乘、向量叉积、向量点积、向量模长、向量单位化等操作；`Line` 表示直线，包括直线上任意一点的坐标和方向向量；`Plane` 表示平面，包括平面一般式方程的系数 $A,B,C,D$；`is_intersected` 函数判断直线和平面是否相交。