求一阶常系数线性非齐次差分方程yt+1+2yt= t的特解与通解

首先写出对应的齐次方程为yt+1+2yt=0，其特征方程为r+2=0，解得r=-2，因此其通解为yt=C1*(-2)^t。

接下来求非齐次方程的特解。由于右侧为t，我们猜测特解为yt=k1t+k2。代入原方程得到(k1+2k2)t+k1+k2= t，可得k1=1/2，k2=-1/4。

因此，非齐次方程的通解为yt=C1*(-2)^t+1/2*t-1/4。

相关问题

用待定系数法求一阶常系数线性非齐次差分方程yₜ₊₁-yₜ=1的特解与通解。

我们假设一阶常系数线性非齐次差分方程的通解形式为 yₜ = A rₜ，其中 A 和 r 都是待定系数。将该通解代入非齐次差分方程 yₜ₊₁ - yₜ = 1 中，得到：

A r^(t+1) - A r^t = 1

化简得：

A (r^(t+1) - r^t) = 1

由于这是一个等比数列，当公比不为 1 时，可以使用待定系数法求解。因此，我们需要先求解齐次差分方程 yₜ₊₁ - yₜ = 0 的通解。

对于齐次差分方程 yₜ₊₁ - yₜ = 0，它的特征方程为 r - 1 = 0，解得 r = 1。因此，齐次差分方程的通解为 yₜ = C₁，其中 C₁ 是一个常数。

接下来，我们需要求解非齐次差分方程的特解。由于右侧是一个常数，我们可以假设特解为 yₜ = k，其中 k 也是一个待定系数。将该特解代入非齐次差分方程 yₜ₊₁ - yₜ = 1 中，得到：

k - k = 1

化简得：

0 = 1

显然，上式不成立，因此我们需要修改特解的形式。由于右侧是一个常数，我们可以假设特解为 yₜ = kt + c，其中 k 和 c 都是待定系数。将该特解代入非齐次差分方程 yₜ₊₁ - yₜ = 1 中，得到：

k (t+1) + c - kt - c = 1

化简得：

k = 1

因此，特解为 yₜ = t + c，其中 c 是一个待定常数。

综上所述，一阶常系数线性非齐次差分方程yₜ₊₁-yₜ=1的通解为：

yₜ = C₁ + t + c，

其中 C₁ 和 c 都是常数。

用待定系数法求一阶常系数线性非齐次差分方程yₜ₊₁-yₜ=1的齐次差分方程的通解

首先，我们需要找到齐次差分方程的特征根。设齐次差分方程的通解为yₜ=c₁rₜ，其中c₁为待定系数，r为特征根。将其代入原方程可得：

c₁r^(t+1) - c₁r^t = 0

化简得：

c₁(r-1) = 0

因为要求齐次差分方程的非零解，所以r≠1。因此c₁=0，齐次差分方程的通解为yₜ=c₂，其中c₂为待定系数。

接下来，我们需要求出非齐次差分方程的特解。根据待定系数法，我们猜测特解为yₜ=k，其中k为待定系数。将其代入原方程可得：

k - k = 1

化简得：

0 = 1

显然这个猜测是错误的，因此我们需要猜测新的特解。由于原方程右侧为常数1，我们猜测特解为yₜ=k₁，其中k₁为另一个待定系数。将其代入原方程可得：

k₁ - k = 1

化简得：

k₁ = k + 1

因此特解为yₜ=k₁=k+1。

最终的通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，即：

yₜ = c₂ + k + 1

其中c₂和k为待定系数，可以根据初始条件求解。